Calcule as derivadas para f(t) abaixo:
(g) t+sen(t)t-cos (t)

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular a derivada da função f(t)=t+sin(t)t-cos(t). O conteúdo envolve a regra do quociente e derivadas de funções trigonométricas e polinomiais. Vamos precisar identificar numerador e denominador, calcular suas derivadas e aplicar a fórmula do quociente.

Passo 2

Definimos u(t)=t+sin(t) e v(t)=t-cos(t). Em seguida, calculamos suas derivadas: u'(t)=1+cos(t) e v'(t)=1+sin(t), lembrando que a derivada de sin(t) é cos(t) e a de cos(t) é -sin(t).

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente, que afirma que a derivada de uv é u',v - u,v'v^2.
Substituímos u, v, u' e v' nessa fórmula, obtendo
f'(t)=(1+cos(t))(t-cos(t)) - (t+sin(t))(1+sin(t))(t-cos(t))^2

Passo 4

Para simplificar, expandimos o numerador e usamos a identidade trigonométrica cos^2(t)+sin^2(t)=1. Isso leva ao numerador t(cos(t)-sin(t)) - (cos(t)+sin(t)) - 1, resultando na forma final.

Resposta

f'(t)=t(cos(t)-sin(t)) - (cos(t)+sin(t)) - 1(t-cos(t))^2

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