Calcule as derivadas para
abaixo:
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de f(t)=√t·sec(t). O conteúdo é a regra do produto de derivadas e precisamos saber: a derivada de √t (regra de potência) e a derivada de sec(t).
Passo 2
Definimos u(t)=t^{1/2} e v(t)=sec(t). Então aplicamos as fórmulas básicas:
– Derivada de u(t)=t^{1/2} é u’(t)=\tfrac12 t^{-1/2}.
– Derivada de v(t)=sec(t) é v’(t)=sec(t)·tan(t).
– Derivada de u(t)=t^{1/2} é u’(t)=\tfrac12 t^{-1/2}.
– Derivada de v(t)=sec(t) é v’(t)=sec(t)·tan(t).
Passo 3
Agora, pela regra do produto f’(t)=u’(t)·v(t)+u(t)·v’(t). Substituindo, temos:
f’(t)=\tfrac12 t{-1/2}·sec(t)+t{1/2}·sec(t)·tan(t).
f’(t)=\tfrac12 t{-1/2}·sec(t)+t{1/2}·sec(t)·tan(t).
Passo 4
Por fim, escrevemos t^{-1/2} como 1/√t e, se quiser, fatoramos sec(t):
f’(t)=\frac{sec(t)}{2√t}+√t·sec(t)·tan(t)
f’(t)=\frac{sec(t)}{2√t}+√t·sec(t)·tan(t)