Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
f(x)=x^42-2 x^3+3 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas, os pontos críticos, os pontos de inflexão, o estudo de crescimento e concavidade e o esboço do gráfico para a função f(x)=tfracx^42-2x^3+3x^2+1. Como é um polinômio de quarto grau, vamos usar derivadas para achar pontos críticos e concavidade.

Passo 2

Polinômios não têm assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas. Logo, a função f(x) não possui assíntotas.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada:
f'(x)=2x^3-6x^2+6x=2x(x^2-3x+3)
Como o discriminante de x^2-3x+3 é 9-12<0, só há raiz real em x=0. Portanto o único ponto crítico é x=0.

Passo 4

Para estudar o crescimento, analisamos o sinal de f'(x)=2x(x^2-3x+3):
– Para x<0, 2x<0 e x^2-3x+3>0, logo f'(x)<0 (decrescente).
– Para x>0, 2x>0 e x^2-3x+3>0, logo f'(x)>0 (crescente).
Assim, em x=0 há um mínimo local, com f(0)=1.

Passo 5

Calculamos a segunda derivada:
f''(x)=6x^2-12x+6=6(x-1)^2
Como f''(x)>=0 para todo x e só se anula em x=1 sem mudar de sinal, a curva é sempre côncava para cima e não há pontos de inflexão.

Passo 6

Resumindo o comportamento e esboçando o gráfico:
– Assíntotas: nenhuma.
– Ponto crítico: (0,1), mínimo local e global.
– Pontos de inflexão: não existem.
– Crescimento: decrescente em (-infty,0), crescente em (0,infty).
– Concavidade: côncava para cima em R.
Gráfico: a curva parte de +∞ em xto-infty, decresce até (0,1) e depois cresce para +∞, sem mudar de concavidade.

Passo 7

Resposta

Assíntotas: não existem.
Ponto crítico: (0,1), mínimo local (e global).
Pontos de inflexão: não existem.
Crescimento: decrescente em (-∞,0), crescente em (0,∞).
Concavidade: côncava para cima em ℝ.
Gráfico: curva que vai de +∞ em x→−∞, decresce até (0,1) e depois cresce para +∞, sempre côncava para cima.

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