Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
;
Passo 1
O enunciado pede as assíntotas, os pontos críticos, os pontos de inflexão, o estudo de crescimento e concavidade e o esboço do gráfico para a função
. Como é um polinômio de quarto grau, vamos usar derivadas para achar pontos críticos e concavidade.
Passo 2
Polinômios não têm assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas. Logo, a função
não possui assíntotas.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada:
Como o discriminante de
Passo 4
Para estudar o crescimento, analisamos o sinal de
:
– Para ,
e
, logo
(decrescente).
– Para ,
e
, logo
(crescente).
Assim, em há um mínimo local, com
.
– Para
– Para
Assim, em
Passo 5
Calculamos a segunda derivada:
Como
Passo 6
Resumindo o comportamento e esboçando o gráfico:
– Assíntotas: nenhuma.
– Ponto crítico: , mínimo local e global.
– Pontos de inflexão: não existem.
– Crescimento: decrescente em , crescente em
.
– Concavidade: côncava para cima em .
Gráfico: a curva parte de +∞ em , decresce até
e depois cresce para +∞, sem mudar de concavidade.
– Assíntotas: nenhuma.
– Ponto crítico:
– Pontos de inflexão: não existem.
– Crescimento: decrescente em
– Concavidade: côncava para cima em
Gráfico: a curva parte de +∞ em
Passo 7
Resposta
Assíntotas: não existem.
Ponto crítico: (0,1), mínimo local (e global).
Pontos de inflexão: não existem.
Crescimento: decrescente em (-∞,0), crescente em (0,∞).
Concavidade: côncava para cima em ℝ.
Gráfico: curva que vai de +∞ em x→−∞, decresce até (0,1) e depois cresce para +∞, sempre côncava para cima.
Ponto crítico: (0,1), mínimo local (e global).
Pontos de inflexão: não existem.
Crescimento: decrescente em (-∞,0), crescente em (0,∞).
Concavidade: côncava para cima em ℝ.
Gráfico: curva que vai de +∞ em x→−∞, decresce até (0,1) e depois cresce para +∞, sempre côncava para cima.