Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
;
Passo 1
O enunciado pede para a gente estudar a função racional
: achar assíntotas (verticais e oblíquas), pontos críticos (onde
ou indefinida), pontos de inflexão (onde
), analisar monotonicidade e concavidade, e ao final esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro vamos achar domínio e assíntotas. O denominador se anula em
, então há uma assíntota vertical
. Para a assíntota oblíqua, dividimos polinômio:
Logo a assíntota oblíqua é
Passo 3
Agora calculamos a derivada para achar pontos críticos e monotonicidade. Usando regra do quociente:
Passo 4
Temos
em
e
. O sinal de
só depende do numerador, pois
para todo
. Então:
• Em : numerador
, logo
(crescente).
• Em (incluindo o intervalo quebrado em
e
): numerador negativo,
(decrescente).
• Em : numerador positivo,
(crescente).
Isso mostra que em há um máximo local e em
um mínimo local. Os valores são
• Em
• Em
• Em
Isso mostra que em
Passo 5
Para concavidade, calculamos a segunda derivada. A partir de
,
Passo 6
Não há soluções de
, logo não há pontos de inflexão, mas o sinal de
muda em
:
• Em ,
então
: côncava para baixo.
• Em ,
então
: côncava para cima.
• Em
• Em
Passo 7
Com isso, basta juntar tudo no esboço: gráfico com assíntota vertical
, oblíqua
, um máximo local em
e um mínimo local em
, crescendo em
e
, decrescendo em
e
, côncavo para baixo antes de 3 e côncavo para cima depois de 3.
Resposta
Assíntotas: vertical em
e oblíqua em
.
Pontos críticos: máximo local em (2,4) e mínimo local em (4,8).
Pontos de inflexão: não existem.
Monotonicidade: crescente em e
, decrescente em
e
.
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
.
Esboço: curva que cresce até (2,4), cai até a assíntota vertical , sai de +∞ no braço direito, cai até (4,8) e depois sobe, aproximando-se de
.
Pontos críticos: máximo local em (2,4) e mínimo local em (4,8).
Pontos de inflexão: não existem.
Monotonicidade: crescente em
Concavidade: côncava para baixo em
Esboço: curva que cresce até (2,4), cai até a assíntota vertical