Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
f(x)=x^2-8x-3;

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar a função racional f(x)=x^2-8x-3: achar assíntotas (verticais e oblíquas), pontos críticos (onde f'=0 ou indefinida), pontos de inflexão (onde f''=0), analisar monotonicidade e concavidade, e ao final esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro vamos achar domínio e assíntotas. O denominador se anula em x=3, então há uma assíntota vertical x=3. Para a assíntota oblíqua, dividimos polinômio:
x^2-8x-3=x+3+1x-3
Logo a assíntota oblíqua é y=x+3.

Passo 3

Agora calculamos a derivada para achar pontos críticos e monotonicidade. Usando regra do quociente:
f'(x)=(2x)(x-3)-(x^2-8)cdot1(x-3)^2 =x^2-6x+8(x-3)^2 =(x-2)(x-4)(x-3)^2

Passo 4

Temos f'(x)=0 em x=2 e x=4. O sinal de f' só depende do numerador, pois (x-3)^2>0 para todo xneq3. Então:
• Em (-infty,2): numerador (x-2)(x-4)>0, logo f'>0 (crescente).
• Em (2,4) (incluindo o intervalo quebrado em (2,3) e (3,4)): numerador negativo, f'<0 (decrescente).
• Em (4,infty): numerador positivo, f'>0 (crescente).
Isso mostra que em x=2 há um máximo local e em x=4 um mínimo local. Os valores são
f(2)=4-82-3=4, f(4)=16-84-3=8

Passo 5

Para concavidade, calculamos a segunda derivada. A partir de f'(x)=(x^2-6x+8)/(x-3)^2,
f''(x)=2(x-3)^3

Passo 6

Não há soluções de f''(x)=0, logo não há pontos de inflexão, mas o sinal de f'' muda em x=3:
• Em x<3, (x-3)^3<0 então f''<0: côncava para baixo.
• Em x>3, (x-3)^3>0 então f''>0: côncava para cima.

Passo 7

Com isso, basta juntar tudo no esboço: gráfico com assíntota vertical x=3, oblíqua y=x+3, um máximo local em (2,4) e um mínimo local em (4,8), crescendo em (-infty,2) e (4,infty), decrescendo em (2,3) e (3,4), côncavo para baixo antes de 3 e côncavo para cima depois de 3.

Resposta

Assíntotas: vertical em x=3 e oblíqua em y=x+3.
Pontos críticos: máximo local em (2,4) e mínimo local em (4,8).
Pontos de inflexão: não existem.
Monotonicidade: crescente em (-infty,2) e (4,infty), decrescente em (2,3) e (3,4).
Concavidade: côncava para baixo em (-infty,3), côncava para cima em (3,infty).
Esboço: curva que cresce até (2,4), cai até a assíntota vertical x=3, sai de +∞ no braço direito, cai até (4,8) e depois sobe, aproximando-se de y=x+3.

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