Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
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Passo 1
Enunciado: a função é dada por
Precisamos encontrar assíntotas, pontos críticos, pontos de inflexão, estudar crescimento e concavidade e esboçar o gráfico.
Passo 2
Assíntotas: cada ramo é um polinômio de grau 2. Funções quadráticas não têm assíntotas horizontais, verticais nem oblíquas. Portanto, não existem assíntotas.
Passo 3
Derivada: calculamos em cada intervalo:
Passo 4
Pontos críticos: resolvendo
em cada ramo, obtemos
. Esse ponto pertence ao domínio e é o único ponto crítico.
Passo 5
Monotonicidade: em
,
então
é decrescente. Em
,
então
é crescente. Logo,
é mínimo global.
Passo 6
Segunda derivada: para concavidade, obtemos
Passo 7
Concavidade e inflexão: como
em todo o domínio,
é côncava para cima sempre e não há pontos de inflexão.
Passo 8
Esboço do gráfico: é a união de duas parábolas com vértice em (0,0), a da esquerda mais aberta (coeficiente 1) e a da direita mais fechada (coeficiente 2), com mínimo em
.
Resposta
Assíntotas: nenhuma. Pontos críticos:
(mínimo global em
). Pontos de inflexão: nenhum. Crescimento: decrescente em
, crescente em
. Concavidade: côncava para cima em todo o domínio.