Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
f(x)= x^2, & se x<0 2 x^2, & se x >= 0

Passo 1

Enunciado: a função é dada por
f(x)= x^2, & x<0, 2x^2, & x>=0
Precisamos encontrar assíntotas, pontos críticos, pontos de inflexão, estudar crescimento e concavidade e esboçar o gráfico.

Passo 2

Assíntotas: cada ramo é um polinômio de grau 2. Funções quadráticas não têm assíntotas horizontais, verticais nem oblíquas. Portanto, não existem assíntotas.

Passo 3

Derivada: calculamos em cada intervalo:
f'(x)=2x, & x<0, f'(x)=4x, & x>=0

Passo 4

Pontos críticos: resolvendo f'(x)=0 em cada ramo, obtemos x=0. Esse ponto pertence ao domínio e é o único ponto crítico.

Passo 5

Monotonicidade: em (-infty,0), f'(x)=2x<0 então f é decrescente. Em (0,infty), f'(x)=4x>0 então f é crescente. Logo, x=0 é mínimo global.

Passo 6

Segunda derivada: para concavidade, obtemos
f''(x)=2, & x<0, f''(x)=4, & x>=0

Passo 7

Concavidade e inflexão: como f''(x)>0 em todo o domínio, f é côncava para cima sempre e não há pontos de inflexão.

Passo 8

Esboço do gráfico: é a união de duas parábolas com vértice em (0,0), a da esquerda mais aberta (coeficiente 1) e a da direita mais fechada (coeficiente 2), com mínimo em x=0.

Resposta

Assíntotas: nenhuma. Pontos críticos: x=0 (mínimo global em f(0)=0). Pontos de inflexão: nenhum. Crescimento: decrescente em (-infty,0), crescente em (0,infty). Concavidade: côncava para cima em todo o domínio.

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