Calcule as derivadas:
f(x)=1024 e^x^5x^3

Passo 1

Temos a função f(x)=dfrac1024e^x^5x^3. O conteúdo aqui envolve derivadas de funções exponenciais, regra do quociente (ou produto) e regra da cadeia, e vamos usar também a derivada de potências para lidar com x^-3.

Passo 2

Para simplificar a aplicação da regra do produto, reescrevemos f(x) como
f(x)=1024,x^-3;e^x^5

Passo 3

Agora identificamos as duas funções que vamos multiplicar: u(x)=1024,x^-3 e v(x)=e^x^5. Pela regra do produto, temos
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 4

Calculamos u'(x) e v'(x):
Para u(x)=1024,x^-3,
u'(x)=1024cdot(-3)x^-4=-3072,x^-4
Para v(x)=e^x^5, aplicamos regra da cadeia: a derivada de e^g(x) é e^g(x)g'(x). Logo,
v'(x)=e^x^5cdot5x^4=5x^4,e^x^5

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'v+uv':
f'(x)=-3072x^-4e^x^5+1024x^-3cdot5x^4e^x^5
No segundo termo, 1024times5=5120 e x^-3cdot x^4=x, então
f'(x)=-3072x^-4e^x^5+5120x,e^x^5

Passo 6

Fatorando 1024x^-4e^x^5 em evidência, percebemos que
-3072x^-4=1024x^-4times(-3),
5120x=1024x^-4times5x^5
Assim,
f'(x)=1024x^-4e^x^5l(-3+5x^5r)
e reescrevendo em forma de quociente, fica
f'(x)=1024e^x^5(5x^5-3)x^4

Passo 7

A expressão acima é a derivada simplificada de f(x).

Resposta

f'(x)=dfrac1024e^x^5(5x^5-3)x^4

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