Prove as identidades abaixo:
sen xcosec x-cotg x=1+cos x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a expressão é igual a dfracsin xcosec x - cotg x. Isso envolve manipular identidades trigonométricas básicas, como as definições de cofuncionais e a relação pitagórica.

Passo 2

Começamos reescrevendo e em termos de cosec x e cotg x. Sabemos que
Logo,

Passo 3

Agora substituímos no quociente original:

Passo 4

Aplicamos a identidade pitagórica sin^2 x = 1 - cos^2 x. Assim,
sin^2 x1 - cos x = 1 - cos^2 x1 - cos x

Passo 5

Fatoramos o numerador como diferença de quadrados:
1 - cos^2 x = (1 - cos x)(1 + cos x)
Substituindo,
(1 - cos x)(1 + cos x)1 - cos x

Passo 6

Como 1 - cos x não é zero (caso contrário a expressão original estaria indefinida), podemos simplificar e obter
1 + cos x

Resposta

Dessa forma, está provado que .

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