Seja f(x, y)=36-4 x^2-9 y^2. Encontre o domínio e a imagem da função. Descreva as curvas de nível da funçāo e esboce seu gráfico. f é uma funçäo diferenciável (justifique)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente analise a função . O conteúdo aqui envolve funções de duas variáveis, onde precisamos encontrar o domínio (os valores de e que a função aceita) e a imagem (os valores que a função pode assumir). Além disso, temos que descrever as curvas de nível (linhas onde a função mantém o mesmo valor) e esboçar o gráfico. Por fim, precisamos verificar se a função é diferenciável. Para tudo isso, vamos usar conceitos de álgebra e cálculo multivariável, explicando passo a passo para ficar fácil de entender.

Passo 2

Dominio da função:
Primeiro, vamos achar o domínio. O domínio é o conjunto de todos os pares Domínio = R times R ou (x, y) mid x in R, y in R para os quais a função está definida. Olhando para , não há nenhum denominador que possa zerar ou raiz quadrada de número negativo, então a função está definida para todos os valores reais de e . Portanto:
í

Passo 3

Imagem da função:
Agora, vamos ver a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que f(0, 0) = 36 pode assumir. Observando a expressão Ima>=m = (-infty, 36] , percebemos que os termos e são sempre negativos ou zero, já que ao elevar ao quadrado qualquer número reais fica positivo, e multiplicando por -1, fica negativo. Portanto, o maior valor que pode ter é quando e :
E à medida que e aumentam em magnitude, diminui sem limite inferior. Logo, a imagem é:

Passo 4

Curvas de nível:
As curvas de nível são as curvas onde a função mantém o mesmo valor. Para encontrar essas curvas, fixamos 36 - 4x^2 - 9y^2 = k implies 4x^2 + 9y^2 = 36 - k , onde é uma constante. Então:
Isso é a equação de uma elipse quando . Portanto, para cada valor de , temos uma elipse centrada na origem com semi-eixos determinados por .

Passo 5

Esboço do gráfico:
O gráfico de é uma superfície paraboloide que se abre para baixo (porque os coeficientes de e são negativos). O ponto mais alto dessa superfície é na origem . À medida que e aumentam, o valor de diminui, formando uma forma de cúpula.

Passo 6

Diferenciabilidade da função:
Para verificar se é diferenciável, lembramos que funções polinomiais são diferenciáveis em todo o seu domínio, porque todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas. Neste caso, é um polinômio de segundo grau em e , então é diferenciável para todos .

Resposta

O domínio da função é , a imagem é . As curvas de nível são elipses centradas na origem para cada valor de . O gráfico da função é uma paraboloide que se abre para baixo, com o ponto mais alto em . Além disso, é uma função diferenciável em todo o seu domínio.

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