Seja
. Encontre o domínio e a imagem da função. Descreva as curvas de nível da funçāo e esboce seu gráfico.
é uma funçäo diferenciável (justifique)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente analise a função
. O conteúdo aqui envolve funções de duas variáveis, onde precisamos encontrar o domínio (os valores de
e
que a função aceita) e a imagem (os valores que a função pode assumir). Além disso, temos que descrever as curvas de nível (linhas onde a função mantém o mesmo valor) e esboçar o gráfico. Por fim, precisamos verificar se a função é diferenciável. Para tudo isso, vamos usar conceitos de álgebra e cálculo multivariável, explicando passo a passo para ficar fácil de entender.
Passo 2
Dominio da função:
Primeiro, vamos achar o domínio. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para
, não há nenhum denominador que possa zerar ou raiz quadrada de número negativo, então a função está definida para todos os valores reais de
e
. Portanto:
Passo 3
Imagem da função:
Agora, vamos ver a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir. Observando a expressão
, percebemos que os termos
e
são sempre negativos ou zero, já que ao elevar ao quadrado qualquer número reais fica positivo, e multiplicando por -1, fica negativo. Portanto, o maior valor que
pode ter é quando
e
:
E à medida que
e
aumentam em magnitude,
diminui sem limite inferior. Logo, a imagem é:
Passo 4
Curvas de nível:
As curvas de nível são as curvas onde a função mantém o mesmo valor. Para encontrar essas curvas, fixamos
, onde
é uma constante. Então:
Isso é a equação de uma elipse quando
. Portanto, para cada valor de
, temos uma elipse centrada na origem com semi-eixos determinados por
.
Passo 5
Esboço do gráfico:
O gráfico de
é uma superfície paraboloide que se abre para baixo (porque os coeficientes de
e
são negativos). O ponto mais alto dessa superfície é na origem
. À medida que
e
aumentam, o valor de
diminui, formando uma forma de cúpula.
Passo 6
Diferenciabilidade da função:
Para verificar se
é diferenciável, lembramos que funções polinomiais são diferenciáveis em todo o seu domínio, porque todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas. Neste caso,
é um polinômio de segundo grau em
e
, então é diferenciável para todos
.
Resposta
O domínio da função é
, a imagem é
. As curvas de nível são elipses centradas na origem para cada valor de
. O gráfico da função é uma paraboloide que se abre para baixo, com o ponto mais alto em
. Além disso,
é uma função diferenciável em todo o seu domínio.