Seja o campo vetorial F: R^3 R^3 dado por F(x, y, z)=(x, 2 y, 3 z). Seja S a superfície dada por z=1-raizx^2+y^2 com 0 <= z <= 1 / 2 e com vetor normal orientado para fora. A partir da definição de integral de superfície de campo vetorial, calcule
integral duplaS(F cdot n) d s

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido no espaço tridimensional. A superfície é dada pela equação , mas só estamos interessados na parte onde varia de 0 a . Queremos calcular a integral de superfície , onde é o vetor normal à superfície orientado para fora.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. O que é uma integral de superfície de um campo vetorial.
  2. Como encontrar o vetor normal à superfície.
  3. Como parametrizar a superfície para facilitar a integração.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de superfície de um campo vetorial. Basicamente, estamos somando todas as “contribuições” do campo ao longo da superfície . A expressão representa o quanto o campo “passa” pela superfície, e é um elemento infinitesimal de área na superfície.
Para calcular isso, precisamos:
  • Encontrar o vetor normal à superfície.
  • Expressar de uma forma que possamos integrar facilmente, geralmente em termos de coordenadas e ou e se usarmos coordenadas polares.

Passo 3

Vamos achar o vetor normal nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = ( xraizx^2 + y^2, yraizx^2 + y^2, 1 ) . A superfície é dada por . Podemos reescrever essa equação como .
O vetor normal à superfície pode ser encontrado usando o gradiente de :
Esse é o vetor normal não normalizado. Como queremos que esteja orientado para fora, já está correto nesse sentido.

Passo 4

Agora, vamos expressar dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy . Quando temos uma superfície parametrizada por partial zpartial x = -xraizx^2 + y^2, partial zpartial y = -yraizx^2 + y^2 e dS = raiz(-xraizx^2 + y^2)^2 + (-yraizx^2 + y^2)^2 + 1 , dx , dy = raizx^2 + y^2x^2 + y^2 + 1 , dx , dy = raiz2 , dx , dy , a área infinitesimal pode ser escrita como:
Calculando as derivadas parciais de :
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto F cdot n = x cdot xraizx^2 + y^2 + 2y cdot yraizx^2 + y^2 + 3z cdot 1 = x^2raizx^2 + y^2 + 2y^2raizx^2 + y^2 + 3z . O campo F cdot n = x^2 + 2y^2raizx^2 + y^2 + 3(1 - raizx^2 + y^2) é e o vetor normal é . Então:
Lembrando que , podemos substituir:

Passo 6

Simplificando a expressão:
F cdot n = x^2 + 2y^2raizx^2 + y^2 + 3 - 3raizx^2 + y^2 = raizx^2 + y^2 + 3 - 3raizx^2 + y^2 = 3 - 2raizx^2 + y^2

Passo 7

Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaS (F cdot n) , dS = integral duplaD (3 - 2raizx^2 + y^2) raiz2 , dx , dy
Onde 1 - r >= 0 Rightarrow r <= 1 1 - r <= 12 Rightarrow r >= 12 é a projeção de no plano . A equação da superfície é (usando ), e , então:
Portanto, varia de a 1.

Passo 8

Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Lembrando que integral duplaS (F cdot n) , dS = raiz2 integral0^2pi integral12^1 (3 - 2r) r , dr , dtheta , , e .
Substituindo na integral:

Passo 9

Vamos calcular a integral interna em integral12^1 (3r - 2r^2) dr = [32r^2 - 23r^3]12^1 = (32(1) - 23(1)) - (32(12)^2 - 23(12)^3) :
= (32 - 23) - (32 cdot 14 - 23 cdot 18) = (96 - 46) - (38 - 112) = 56 - (924 - 224) = 56 - 724
Calculando:
56 = 2024 Rightarrow 2024 - 724 = 1324
Convertendo para denominador comum:

Passo 10

Agora, a integral completa:
integral duplaS (F cdot n) , dS = raiz2 integral0^2pi 1324 , dtheta = raiz2 cdot 1324 cdot 2pi = raiz2 cdot 13pi12 = 13raiz2pi12

Resposta

A integral de superfície vale .

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