Seja o campo vetorial dado por . Seja a superfície dada por com e com vetor normal orientado para fora. A partir da definição de integral de superfície de campo vetorial, calcule
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido no espaço tridimensional. A superfície é dada pela equação , mas só estamos interessados na parte onde varia de 0 a . Queremos calcular a integral de superfície , onde é o vetor normal à superfície orientado para fora.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
O que é uma integral de superfície de um campo vetorial.
Como encontrar o vetor normal à superfície.
Como parametrizar a superfície para facilitar a integração.
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de superfície de um campo vetorial. Basicamente, estamos somando todas as “contribuições” do campo ao longo da superfície . A expressão representa o quanto o campo “passa” pela superfície, e é um elemento infinitesimal de área na superfície.
Para calcular isso, precisamos:
Encontrar o vetor normal à superfície.
Expressar de uma forma que possamos integrar facilmente, geralmente em termos de coordenadas e ou e se usarmos coordenadas polares.
Passo 3
Vamos achar o vetor normal . A superfície é dada por . Podemos reescrever essa equação como .
O vetor normal à superfície pode ser encontrado usando o gradiente de :
Esse é o vetor normal não normalizado. Como queremos que esteja orientado para fora, já está correto nesse sentido.
Passo 4
Agora, vamos expressar . Quando temos uma superfície parametrizada por e , a área infinitesimal pode ser escrita como:
Calculando as derivadas parciais de :
Substituindo na expressão de :
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto F cdot n = x cdot xraizx^2 + y^2 + 2y cdot yraizx^2 + y^2 + 3z cdot 1 = x^2raizx^2 + y^2 + 2y^2raizx^2 + y^2 + 3z . O campo F cdot n = x^2 + 2y^2raizx^2 + y^2 + 3(1 - raizx^2 + y^2) é e o vetor normal é . Então:
integral duplaS (F cdot n) , dS = integral duplaD (3 - 2raizx^2 + y^2) raiz2 , dx , dy
Onde 1 - r >= 0 Rightarrow r <= 1 1 - r <= 12 Rightarrow r >= 12 é a projeção de no plano . A equação da superfície é (usando ), e , então:
Portanto, varia de a 1.
Passo 8
Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Lembrando que integral duplaS (F cdot n) , dS = raiz2 integral0^2pi integral12^1 (3 - 2r) r , dr , dtheta , , e .
Substituindo na integral:
Passo 9
Vamos calcular a integral interna em integral12^1 (3r - 2r^2) dr = [32r^2 - 23r^3]12^1 = (32(1) - 23(1)) - (32(12)^2 - 23(12)^3) :