(2)Calcule as derivadas.
f(x)=arcsen(1x)

Passo 1

A função dada é . Vamos usar derivada de função composta envolvendo e f(x)=arcsenl(1/xr).

Passo 2

Lembrando que a derivada de em relação a arcsen(u) é dada pela regra da cadeia:

Passo 3

No nosso caso, u(x)=1/x. Então calculamos:
u'(x)=ddxl(1/xr)= -1x^2

Passo 4

Agora aplicamos essa derivada na fórmula de :
arcsen(u)

Passo 5

Podemos simplificar a raiz:
raiz1-1x^2=raizx^2-1x^2=raizx^2-1|x|
Substituindo de volta:
f'(x)=-1/x^2raizx^2-1|x|=-|x|x^2raizx^2-1

Passo 6

Como o domínio exige |x|>=1, podemos separar casos ou simplificar assumindo x>1 (onde |x|=x):
f'(x)=-1xraizx^2-1(x>1)

Passo 7

Se preferir a forma sem casos, basta usar
f'(x)=-|x|x^2raizx^2-1

Resposta

-dfrac1/x^2raiz1-1/x^2=-dfrac1x^2raiz1-1/x^2, que simplifica para -dfrac1xraizx^2-1 em x>1 (ou -|x|/(x^2raizx^2-1) no geral).

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