(2)Encontre as derivadas das funções a seguir.
y=e^(x^2+5) cdot e^-x

Passo 1

Temos a função y = e{(x2+5)} \cdot e^{-x}. O conteúdo envolvido é derivada de exponenciais, então vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para chegar ao resultado.

Passo 2

Aplicando a regra do produto: se y = f(x)\cdot g(x), então y’ = f’(x),g(x) + f(x),g’(x). Aqui f(x) = e{(x2+5)} e g(x) = e^{-x}.

Passo 3

Derivamos f(x) e g(x) usando a regra da cadeia: para f(x)=e^{u(x)} com u(x)=x^2+5, temos u’(x)=2x, logo f’(x)=2x,e{(x2+5)}. Para g(x)=e^{v(x)} com v(x)=-x, temos v’(x)=-1, logo g’(x)=-e^{-x}.

Passo 4

Substituindo na regra do produto obtemos y’ = (2x,e{(x2+5)}),e^{-x} + e{(x2+5)},(-e^{-x}). Fatorando e{(x2+5)},e^{-x} sai y’ = (2x - 1),e{(x2+5)},e^{-x}.

Passo 5

Para deixar mais enxuto, combinamos os expoentes na exponencial: e{(x2+5)},e^{-x} = e{(x2+5-x)}. Dessa forma chegamos à forma simplificada da derivada.

Resposta

y' = (2x - 1)e^x^2 + 5 - x

Exercícios relacionados