(1)Encontre a equação da reta tangente ao gráfico no ponto P(2,-3).
Obs: Utilize a definição de derivada para encontrar a inclinação da reta.
y=3 x^2-8 x+1

Passo 1

A questão pede para encontrar a reta tangente ao gráfico de y=3x²−8x+1 no ponto P(2,−3), usando a definição de derivada para obter a inclinação. O conteúdo aqui é derivada de funções polinomiais pela definição de limite.

Passo 2

Para usar a definição de derivada, lembramos que
f'(x)=limhto 0f(x+h)-f(x)h
Neste caso f(x)=3x²−8x+1, então vamos calcular f(x+h).

Passo 3

Calculando f(x+h):
f(x+h)=3(x+h)²−8(x+h)+1=3(x²+2xh+h²)−8x−8h+1=3x²+6xh+3h²−8x−8h+1 ²²²²²
Subtraindo f(x) e dividindo por h:
f(x+h)-f(x)h=(3x²+6xh+3h²−8x−8h+1)−(3x²−8x+1)h=6xh+3h²−8hh=6x+3h−8 ²²²²
Fazendo h→0, obtemos f’(x)=6x−8.

Passo 4

A derivada no ponto x=2 é f’(2)=6·2−8=12−8=4. Esse será o coeficiente angular m da reta tangente.

Passo 5

Agora usamos a equação da reta com coeficiente angular m=4 passando por (2,−3):
y−(−3)=4(x−2),
o que leva a y+3=4x−8 e, então,
y=4x−11.

Resposta

y=4x-11

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