Calcule as derivadas:
f(x)=cos (3 x+1) e^2 x

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada da função $ f(x) = \cos(3x + 1) \cdot e^{2x} $. Isso tá dentro da matéria de cálculo, mais especificamente de derivadas de produtos de funções. Para resolver isso, vamos usar a Regra do Produto e também lembrar como derivar funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra do Produto. Se a gente tem duas funções, $ u(x) $ e $ v(x) $, então a derivada delas multiplicadas é dada por:
u(x)
No nosso caso, vamos identificar:
v(x)

Passo 3

Agora, vamos derivar $ u(x) = \cos(3x + 1) $. Para isso, usamos a derivada da função cosseno que é:
u(x) = cos(3x + 1)
Mas como temos uma função composta $ 3x + 1 $, a gente também aplica a Regra da Cadeia. Então:
ddx cos(kx) = -k cdot sin(kx)

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(x) = e^{2x} $. Sabemos que a derivada de $ e^{kx} $ é:
v(x) = e^2x
Aplicando isso aqui:
e^kx

Passo 5

Com as derivadas das duas partes calculadas, a gente aplica a Regra do Produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
f'(x) = (-3 sin(3x + 1)) cdot e^2x + cos(3x + 1) cdot 2 e^2x
Dá pra simplificar fatorando $ e^{2x} $:
e^2x

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = e^2x ( 2 cos(3x + 1) - 3 sin(3x + 1) )

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