Determine e esboce o domínio da função.
f(x, y)=arcsen(x^2+y^2-3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar e esboçar o domínio da função $ f(x, y) = \arcsen\left(x^{2} + y^{2} - 3\right) $. Isso envolve entender onde a função está “valendo” ou seja, para quais valores de $ x $ e $ y $ a expressão dentro do é válida. Vamos precisar usar o conceito de domínio de funções trigonométricas, especialmente o arco seno, que só aceita certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função está definida apenas quando o argumento $ z $ está entre -1 e 1, ou seja:
arcsen(z)
No nosso caso, $ z = x^{2} + y^{2} - 3 $. Então, precisamos que:
z

Passo 3

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de $ x $ e $ y $:
x
Primeiro, vamos somar 3 em todas as partes:
y
Isso significa que a soma dos quadrados de $ x $ e $ y $ deve estar entre 2 e 4.

Passo 4

A expressão $ x^{2} + y^{2} $ representa um círculo no plano $ xy $ com raio $ r $, onde $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Então, a desigualdade $ 2 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4 $ corresponde a pontos que estão entre dois círculos concêntricos:
  • Um círculo interno com raio $ \sqrt{2} $ (porque $ x^{2} + y^{2} = 2 $)
  • Um círculo externo com raio $ 2 $ (porque $ x^{2} + y^{2} = 4 $)

Passo 5

Portanto, o domínio da função $ f(x, y) $ é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ que estão na região anelar (a área entre os dois círculos mencionados). Em termos matemáticos, podemos escrever:
f(x, y)

Resposta

O domínio da função $ f(x, y) = \arcsen\left(x^{2} + y^{2} - 3\right) $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ no plano que satisfazem $ 2 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4 $. Geometricamente, isso é representado pela área entre dois círculos concêntricos com raios $ \sqrt{2} $ e $ 2 $.

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