Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a menor distância entre o ponto
e o plano
.
Passo 1
O enunciado quer a menor distância do ponto (1,−1,−1) até o plano x+4y+3z=2 usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo envolve otimizar a função distância ao quadrado sujeita à restrição do plano, implementando gradientes igualados.
Passo 2
Definimos a função a minimizar f(x,y,z)=(x−1)²+(y+1)²+(z+1)² e o constrangimento g(x,y,z)=x+4y+3z−2=0. Pelos multiplicadores de Lagrange, temos ∇f=λ∇g, ou seja:
Além disso, a restrição é
Passo 3
Das equações de gradiente isolamos x,y,z em função de λ:
Passo 4
Substituímos essas expressões na restrição do plano:
Passo 5
Ao simplificar, obtemos 13λ−6=2, logo λ=8/13. Em seguida, calculamos o ponto mais próximo:
Passo 6
Por fim, a distância mínima é a raiz da soma dos quadrados das diferenças entre (x,y,z) e (1,−1,−1):
Resposta
A menor distância é
.