Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a menor distância entre o ponto (1,-1,-1) e o plano x+4 y+3 z=2.

Passo 1

O enunciado quer a menor distância do ponto (1,−1,−1) até o plano x+4y+3z=2 usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo envolve otimizar a função distância ao quadrado sujeita à restrição do plano, implementando gradientes igualados.

Passo 2

Definimos a função a minimizar f(x,y,z)=(x−1)²+(y+1)²+(z+1)² e o constrangimento g(x,y,z)=x+4y+3z−2=0. Pelos multiplicadores de Lagrange, temos ∇f=λ∇g, ou seja:
2(x−1)=lambda,2(y+1)=4lambda,2(z+1)=3lambda
Além disso, a restrição é
x+4y+3z=2

Passo 3

Das equações de gradiente isolamos x,y,z em função de λ:
x−1=lambda2implies x=1+lambda2,y+1=2lambdaimplies y=−1+2lambda,z+1=3lambda2implies z=−1+3lambda2

Passo 4

Substituímos essas expressões na restrição do plano:
l(1+lambda2r)+4l(−1+2lambdar)+3l(−1+3lambda2r)=2

Passo 5

Ao simplificar, obtemos 13λ−6=2, logo λ=8/13. Em seguida, calculamos o ponto mais próximo:
x=1+8/132=1713,y=−1+2cdot813=313,z=−1+32cdot813=−113

Passo 6

Por fim, a distância mínima é a raiz da soma dos quadrados das diferenças entre (x,y,z) e (1,−1,−1):
d=raizl(tfrac1713−1r)^2+l(tfrac313+1r)^2+l(−tfrac113+1r)^2=4raiz2613

Resposta

A menor distância é 4raiz2613.

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