Calcule as integrais:
integral0^1 3^5 x+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral0^1 3^5x+3 , dx. O assunto aqui é cálculo integral, especificamente integrais de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de integração para exponenciais com base diferente de e.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando: 3^5x+3. Quando temos uma base diferente de e, usamos uma fórmula específica para integrar. A regra geral para integrar a^u(x) é:
integral a^u(x) , dx = a^u(x)u'(x) ln(a) + C
Como temos limites de integração, a constante C não precisará ser considerada aqui.

Passo 3

Vamos definir u(x) = 5x + 3. Agora, precisamos encontrar a derivada de u(x) em relação a x:
u'(x) = ddx(5x + 3) = 5

Passo 4

Aplicando a regra de integração que mencionamos, temos:
integral 3^5x+3 , dx = 3^5x+35 ln(3) + C
Mas lembrando que temos limites de 0 a 1, então vamos focar na parte sem a constante.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de 0 a 1 na expressão integrada:
3^5x+35 ln(3) |0^1
Isso significa que vamos calcular o valor da expressão para x = 1 e subtrair o valor para x = 0.

Passo 6

Calculando para x = 1:
3^5(1)+3 = 3^8
E para x = 0:
3^5(0)+3 = 3^3

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão com os limites:
3^85 ln(3) - 3^35 ln(3) = 3^8 - 3^35 ln(3)
Agora, podemos calcular os valores numéricos:
3^8 = 6561 e 3^3 = 27
Então:
6561 - 275 ln(3) = 65345 ln(3)

Resposta

A integral integral0^1 3^5x+3 , dx é igual a 65345 ln(3).

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