Beleza, vamos resolver essa integral que é . O assunto aqui é cálculo integral, especificamente integrais de funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de integração para exponenciais com base diferente de .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando: . Quando temos uma base diferente de , usamos uma fórmula específica para integrar. A regra geral para integrar é:
Como temos limites de integração, a constante não precisará ser considerada aqui.
Passo 3
Vamos definir . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Passo 4
Aplicando a regra de integração que mencionamos, temos:
Mas lembrando que temos limites de 0 a 1, então vamos focar na parte sem a constante.
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1 na expressão integrada:
Isso significa que vamos calcular o valor da expressão para x = 1 e subtrair o valor para x = 0.
Passo 6
Calculando para x = 1:
3^5(1)+3 = 3^8
E para x = 0:
3^5(0)+3 = 3^3
Passo 7
Substituindo esses valores na expressão com os limites:
3^85 ln(3) - 3^35 ln(3) = 3^8 - 3^35 ln(3)
Agora, podemos calcular os valores numéricos:
3^8 = 6561 e 3^3 = 27
Então:
6561 - 275 ln(3) = 65345 ln(3)
Resposta
A integral integral0^1 3^5x+3 , dx é igual a 65345 ln(3).