Calcule as derivadas de f(x) :
f(x)=(3+cos (x))^x,

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (3 + cos x)^x
O conteúdo envolve funções da forma u(x)^v(x), logo vamos usar diferenciação logarítmica, que combina regra do produto e cadeia.

Passo 2

Definimos y = f(x) e aplicamos logaritmo em ambos os lados:
ln y = lnl((3 + cos x)^xr) = x,lnl(3 + cos xr)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo vem y'y. No direito, usamos regra do produto e cadeia:
y'y = ddxl[x,ln(3 + cos x)r] = ln(3 + cos x) + x,ddxl[ln(3 + cos x)r] = ln(3 + cos x) + x,-sin x3 + cos x

Passo 4

Isolando y' e voltando a f(x):
y' = y[ln(3 + cos x) - x,sin x3 + cos x] = (3 + cos x)^x,l(ln(3 + cos x) - x,sin x3 + cos xr)

Resposta

f'(x) = (3 + cos x)^x,l(ln(3 + cos x) - x,sin x3 + cos xr)

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