Calcule as derivadas de f(x) :
f(x)=(2 x+1)^x,

Passo 1

Nesse exercício a gente quer derivar a função f(x) = (2x+1)^x. O tema aqui é derivada de função na qual tanto a base quanto o expoente dependem de x. Para lidar com isso de forma tranquila, vamos usar log-diferenciação, transformando essa potência numa multiplicação.

Passo 2

Seja y = f(x). Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, temos
ln y = lnl((2x+1)^xr)
Como ln(a^b) = bln a, isso vira
ln y = x ln(2x+1)

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. Na esquerda, derivada de ln y tfrac1yy'. Do lado direito, usamos a regra do produto em xln(2x+1), obtendo
ddx[xln(2x+1)] = 1cdotln(2x+1) + xcdot22x+1
Logo
y'y = ln(2x+1) + 2x2x+1

Passo 4

Isolando y', basta multiplicar ambos os lados por y:
y' = yl[ln(2x+1) + 2x2x+1r]
E como y=(2x+1)^x, concluímos que
f'(x) = (2x+1)^xl[ln(2x+1) + 2x2x+1r]

Resposta

f'(x) = (2x+1)^xl(ln(2x+1) + 2x2x+1r).

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