Exercício 7. (Apostol, capítulo 5.11, exercício 14) Para cada uma das afirmações, prove ou dê um contraexemplo. Abaixo A e B são matrizes em Mn times n(C) :
Se A e B são unitárias, então A+B é unitária.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas matrizes unitárias A,Bin Mntimes n(C), a soma A+B também precisa ser unitária. Lembrando que uma matriz U é unitária se vale
U^*,U = U,U^* = In,
ou seja, U^* = U^-1. Para a soma ser unitária, teríamos de ter
(A+B)^*,(A+B)=In
Vamos ver que isso nem sempre acontece, dando um contraexemplo simples.

Passo 2

Considere em Mntimes n(C) (por exemplo em n=1, mas vale para qualquer n) as matrizes
A = In, B = -In
Então
A^*A = In^*,In = Incdot In = In,
B^*B = (-In)^*,(-In) = (-In),(-In) = In,
logo tanto A quanto B são unitárias. Entretanto,
A + B = In + (-In) = 0ntimes n,
e
(A+B)^*(A+B) = 0^*,0 = 0 neq In
A matriz zero não é invertível nem satisfaz (A+B)^*(A+B)=In, logo não é unitária.

Resposta

O enunciado é falso. Um contraexemplo é A=In, B=-In, pois A e B são unitárias, mas A+B=0 não é unitária.

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