Exercício 7. (Apostol, capítulo 5.11, exercício 14) Para cada uma das afirmações, prove ou dê um contraexemplo. Abaixo
e
são matrizes em
:
Se
e
são unitárias, então
é unitária.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas duas matrizes unitárias
, a soma
também precisa ser unitária. Lembrando que uma matriz
é unitária se vale
ou seja,
. Para a soma ser unitária, teríamos de ter
Vamos ver que isso nem sempre acontece, dando um contraexemplo simples.
Passo 2
Considere em
(por exemplo em
, mas vale para qualquer
) as matrizes
Então
logo tanto
quanto
são unitárias. Entretanto,
e
A matriz zero não é invertível nem satisfaz
, logo não é unitária.
Resposta
O enunciado é falso. Um contraexemplo é
,
, pois
e
são unitárias, mas
não é unitária.