Calcule as derivadas
f(x)=\frac{a^{3 x}}{b^{3 x^{2}}-6 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas da função
f(x)=\frac{a^{3x}}{b^{3x^{2}}-6x}.
Dados importantes fornecidos:
  • A função é uma razão entre duas expressões que dependem de x.
  • As constantes a e b aparecem como bases de potências exponenciais (assumimos a>0 e b>0 para que os logaritmos naturais abaixo façam sentido).
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Regra do quociente: se \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{(v(x))^{2}}.
Aqui u(x) é o numerador e v(x) o denominador. A ideia é derivar numerador e denominador separadamente e combinar conforme a fórmula.
  • Derivada de uma exponencial com base fixa e expoente função: se \displaystyle g(x)=c^{h(x)} com c>0, então
g'(x)=c^{h(x)}\cdot \ln\text{(c)}\cdot h'(x).
Isto vem da regra da cadeia: primeiro derivamos a função c^{u} em relação a u (que é c^{u}\ln c) e multiplicamos por u'(x).
  • Regra da cadeia: quando temos uma função composta h(x)=\varphi(\psi(x)), a derivada é h'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot \psi'(x). Usamos isso ao derivar a^{3x} e b^{3x^{2}}.

Passo 3

Identificamos u(x) (numerador) e v(x) (denominador):
u(x)=a^{3x},\qquad v(x)=b^{3x^{2}}-6x.
Agora derivamos u(x) aplicando a regra da exponencial com cadeia.
A função interna é 3x, cuja derivada é 3. Então
u'(x)=a^{3x}\cdot \ln(a)\cdot 3=3\ln(a)\,a^{3x}.
Expliquei: \ln(a) é a derivada de a^{u} em relação ao expoente u, e multiplicamos por u'(x)=3.

Passo 4

Derivamos v(x)=b^{3x^{2}}-6x. Vamos separar em duas partes:
  • Para b^{3x^{2}}: a função interna é 3x^{2}, cuja derivada é 6x. Aplicando a fórmula da exponencial chegamos a
\frac{d}{dx}\big(b^{3x^{2}}\big)=b^{3x^{2}}\cdot \ln(b)\cdot 6x=6x\ln(b)\,b^{3x^{2}}.
  • Para -6x: a derivada é -6.
    Somando as duas contribuições,
v'(x)=6x\ln(b)\,b^{3x^{2}}-6.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente com u,u',v,v' que já calculamos:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{(v(x))^{2}}.
Substituindo:
f'(x)=\frac{3\ln(a)\,a^{3x}\,\big(b^{3x^{2}}-6x\big)-a^{3x}\big(6x\ln(b)\,b^{3x^{2}}-6\big)}{\big(b^{3x^{2}}-6x\big)^{2}}.

Passo 6

Vamos simplificar fatorando a^{3x} no numerador, porque aparece em ambos os termos:
f'(x)=\frac{a^{3x}\Big[3\ln(a)\big(b^{3x^{2}}-6x\big)-\big(6x\ln(b)\,b^{3x^{2}}-6\big)\Big]}{\big(b^{3x^{2}}-6x\big)^{2}}.
Isto deixa a expressão mais limpa e mostra a estrutura: um fator comum a^{3x} multiplicando um colchete com os termos restantes.

Passo 7

Podemos expandir e agrupar termos dentro do colchete para uma forma alternativa (opcional, mas útil na prova):
Expansão do colchete:
\begin{aligned} &3\ln(a)\,b^{3x^{2}}-18x\ln(a)-6x\ln(b)\,b^{3x^{2}}+6 \\\ &=b^{3x^{2}}\big(3\ln(a)-6x\ln(b)\big)+(6-18x\ln(a)). \end{aligned}
Assim outra forma escrita de f'(x) é
f'(x)=\frac{a^{3x}\Big(b^{3x^{2}}\big(3\ln(a)-6x\ln(b)\big)+(6-18x\ln(a))\Big)}{\big(b^{3x^{2}}-6x\big)^{2}}.

Passo 8

Se quisermos ainda factorar o 3 no numerador para ficar mais compacto:
f'(x)=\frac{3a^{3x}\Big(b^{3x^{2}}\big(\ln(a)-2x\ln(b)\big)+(2-6x\ln(a))\Big)}{\big(b^{3x^{2}}-6x\big)^{2}}.
Essa é uma forma também válida e pode facilitar comparação entre termos durante a prova.

Resposta

f'(x)=\frac{a^{3x}\Big[3\ln(a)\big(b^{3x^{2}}-6x\big)-\big(6x\ln(b)\,b^{3x^{2}}-6\big)\Big]}{\big(b^{3x^{2}}-6x\big)^{2}}.

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