Calcule as derivadas
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas da função
Dados importantes fornecidos:
- A função é uma razão entre duas expressões que dependem de
. - As constantes
e aparecem como bases de potências exponenciais (assumimos e para que os logaritmos naturais abaixo façam sentido). - A tarefa é encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Regra do quociente: se
, então
Aqui
é o numerador e
o denominador. A ideia é derivar numerador e denominador separadamente e combinar conforme a fórmula.
- Derivada de uma exponencial com base fixa e expoente função: se
com , então
Isto vem da regra da cadeia: primeiro derivamos a função
em relação a
(que é
) e multiplicamos por
.
- Regra da cadeia: quando temos uma função composta
, a derivada é . Usamos isso ao derivar e .
Passo 3
Identificamos
(numerador) e
(denominador):
Agora derivamos
aplicando a regra da exponencial com cadeia.
A função interna é , cuja derivada é
. Então
A função interna é
Expliquei:
é a derivada de
em relação ao expoente
, e multiplicamos por
.
Passo 4
Derivamos
. Vamos separar em duas partes:
- Para
: a função interna é , cuja derivada é . Aplicando a fórmula da exponencial chegamos a
- Para
: a derivada é .
Somando as duas contribuições,
Passo 5
Agora aplicamos a regra do quociente com
que já calculamos:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar fatorando
no numerador, porque aparece em ambos os termos:
Isto deixa a expressão mais limpa e mostra a estrutura: um fator comum
multiplicando um colchete com os termos restantes.
Passo 7
Podemos expandir e agrupar termos dentro do colchete para uma forma alternativa (opcional, mas útil na prova):
Expansão do colchete:
Expansão do colchete:
Assim outra forma escrita de
é
Passo 8
Se quisermos ainda factorar o
no numerador para ficar mais compacto:
Essa é uma forma também válida e pode facilitar comparação entre termos durante a prova.