Derive as funções:
y=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{3}-2 x\right)

Passo 1

O enunciado dá a função \;y=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{3}-2x\right)\; e pede para calcular a derivada (ou seja, y', a derivada de y em relação a x).\n
Informações importantes extraídas do enunciado:
\;x^{2}+1\; e \;x^{3}-2x\; são os dois fatores que multiplicam para formar y.\n
A tarefa é encontrar a expressão de y' simplificada.

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra do produto. Se \;u(x)\; e \;v(x)\; são funções, então a derivada de \;u\cdot v\; é
\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'\,v+u\,v'.
Aqui u' denota \frac{du}{dx} e v' denota \frac{dv}{dx}.\n
Também usaremos a regra do poder (power rule): para um inteiro n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
E a derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0.

Passo 3

Identificamos os fatores e calculamos suas derivadas separadamente:
defina \;u(x)=x^{2}+1\; e \;v(x)=x^{3}-2x.\n
Aplicando a regra do poder e a regra da soma:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}(1)=2x+0=2x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-2x\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-2\frac{d}{dx}(x)=3x^{2}-2.
Expliquei: derivada de \;x^{2}\; é \;2x, de \;1\; é \;0, de \;x^{3}\; é \;3x^{2} e de \;2x\; é \;2.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto \;y'=u'v+uv'\; substituindo os valores:
y'=(2x)\,(x^{3}-2x)+(x^{2}+1)\,(3x^{2}-2).
Isso já é uma forma correta da derivada; vamos simplificar passo a passo para ficar mais prático na prova.

Passo 5

Simplificamos o primeiro termo (2x)(x^{3}-2x):
(2x)(x^{3}-2x)=2x\cdot x^{3}-2x\cdot 2x=2x^{4}-4x^{2}.
Detalhe: 2x\cdot x^{3}=2x^{4} e 2x\cdot(-2x)=-4x^{2}.

Passo 6

Simplificamos o segundo termo (x^{2}+1)(3x^{2}-2) expandindo:
(x^{2}+1)(3x^{2}-2)=x^{2}\cdot 3x^{2}+x^{2}\cdot(-2)+1\cdot 3x^{2}+1\cdot(-2).
Calculando cada produto:
=3x^{4}-2x^{2}+3x^{2}-2=3x^{4}+(-2x^{2}+3x^{2})-2=3x^{4}+x^{2}-2.

Passo 7

Somamos os dois resultados obtidos nos passos anteriores:
y'=(2x^{4}-4x^{2})+(3x^{4}+x^{2}-2).
Combine termos semelhantes:
y'=(2x^{4}+3x^{4})+(-4x^{2}+x^{2})-2=5x^{4}-3x^{2}-2.

Passo 8

Verificação alternativa (opcional, boa prática): primeiro expandir y e depois derivar.\n
Expandindo \;y=(x^{2}+1)(x^{3}-2x)=x^{5}-2x^{3}+x^{3}-2x=x^{5}-x^{3}-2x.\n
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}-x^{3}-2x\bigr)=5x^{4}-3x^{2}-2,
que confirma o resultado anterior.

Resposta

y'=5x^{4}-3x^{2}-2

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