Calcule as derivadas
f(x)=2^{3 x^{2}+6 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=2^{3 x^{2}+6 x}.
Informações dadas: a função é uma exponencial com base 2 e expoente 3x^{2}+6x. O objetivo é obter f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos aprender uma fórmula útil: se temos uma função da forma \;y=a^{u(x)}\; com a>0 constante e u(x) função de x, então podemos escrever
a^{u(x)} = e^{u(x)\ln(a)}.
Isto é só usar que a = e^{\ln(a)} e propriedades das potências. Agora, para derivar e^{u(x)\ln(a)} usamos a regra da cadeia: a derivada de \;e^{g(x)}\; é \;e^{g(x)}\cdot g'(x)\;. Aplicando ao nosso caso, com g(x)=u(x)\ln(a), obtemos a fórmula geral
\frac{d}{dx}\bigl(a^{u(x)}\bigr) = a^{u(x)}\cdot \ln(a)\cdot u'(x).
Explicando com calma: \ln(a) é constante (porque a é constante), então ao derivar g(x)=u(x)\ln(a) temos g'(x)=\ln(a)\cdot u'(x). Por isso aparece o fator \ln(a).

Passo 3

Agora identifique a parte u(x) no exercício. Aqui
u(x)=3x^{2}+6x.
Para prosseguir precisamos de u'(x), a derivada de um polinômio. Lembrete das regras básicas:
  • Derivada da soma é soma das derivadas.
  • Regra do poder: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} para n inteiro positivo.
    Aplicando:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot 2x=6x,
\frac{d}{dx}\bigl(6x\bigr)=6.
Somando,
u'(x)=6x+6.

Passo 4

Aplique agora a fórmula do Passo 2 com a=2 e o u'(x) que acabamos de achar. Pela fórmula:
f'(x)=2^{u(x)}\cdot \ln(2)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=3x^{2}+6x e u'(x)=6x+6,
f'(x)=2^{3x^{2}+6x}\cdot \ln(2)\cdot (6x+6).

Passo 5

Podemos organizar um pouco o resultado factorando 6 em (6x+6)=6(x+1). Assim uma forma mais limpa é
f'(x)=6(x+1)\ln(2)\;2^{3x^{2}+6x}.
Essa é a derivada final. Para fixar a ideia, exemplos rápidos: se g(x)=2^{x} então g'(x)=2^{x}\ln(2); se h(x)=2^{x^{2}} então h'(x)=2^{x^{2}}\ln(2)\cdot 2x. Mesma lógica aplicada aqui.

Resposta

f'(x)=6(x+1)\ln(2)\,2^{3x^{2}+6x}

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