Calcule as derivadas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: a função é uma exponencial com base
e expoente
. O objetivo é obter
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Vamos aprender uma fórmula útil: se temos uma função da forma
com
constante e
função de
, então podemos escrever
Isto é só usar que
e propriedades das potências. Agora, para derivar
usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Aplicando ao nosso caso, com
, obtemos a fórmula geral
Explicando com calma:
é constante (porque
é constante), então ao derivar
temos
. Por isso aparece o fator
.
Passo 3
Agora identifique a parte
no exercício. Aqui
Para prosseguir precisamos de
, a derivada de um polinômio. Lembrete das regras básicas:
- Derivada da soma é soma das derivadas.
- Regra do poder:
para inteiro positivo.
Aplicando:
Somando,
Passo 4
Aplique agora a fórmula do Passo 2 com
e o
que acabamos de achar. Pela fórmula:
Substituindo
e
,
Passo 5
Podemos organizar um pouco o resultado factorando
em
. Assim uma forma mais limpa é
Essa é a derivada final. Para fixar a ideia, exemplos rápidos: se
então
; se
então
. Mesma lógica aplicada aqui.