Calcule as derivadas
f(x)=\frac{7 x^{2}}{2 \sqrt[5]{3 x+1}}+\sqrt{3 x+1}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=\frac{7 x^{2}}{2 \sqrt[5]{3 x+1}}+\sqrt{3 x+1}
e pede para calcular a derivada de f, ou seja, f'(x).
Informações relevantes: a função é soma de dois termos; o primeiro termo envolve uma potência negativa de uma expressão linear 3x+1 (pela raiz quinta no denominador) e o segundo é uma raiz quadrada de 3x+1. A tarefa é obter a derivada de cada termo e somá-las.

Passo 2

Reescrevo a função em potências para facilitar o uso das regras de derivação:
f(x)=\frac{7}{2}\,x^{2}\,(3x+1)^{-1/5}+(3x+1)^{1/2}.
Explicação curta: \sqrt[5]{3x+1}=(3x+1)^{1/5}, então o denominador vira expoente negativo; \sqrt{3x+1}=(3x+1)^{1/2}.

Passo 3

Vou lembrar as regras que usarei (explicadas de forma simples):
\text{(soma)}\quad \frac{d}{dx}[u+v]=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}.
\text{(constante)}\quad \frac{d}{dx}[c\cdot u]=c\cdot\frac{du}{dx},\quad c\\ \text{constante}.
\text{(produto)}\quad \frac{d}{dx}[u\cdot v]=u'\,v+u\,v'.
\text{(cadeia)}\quad \frac{d}{dx}[g(h(x))]=g'(h(x))\cdot h'(x).
\text{(potência simples)}\quad \frac{d}{dx}[t^{n}]=n\,t^{n-1}\cdot t'(x)\\ \text{(aplicado com a regra da cadeia se \(t\) depende de \(x\))}.ê
Vou aplicar essas regras passo a passo. Não pule nada — é só combinar produto + cadeia para o primeiro termo e cadeia para o segundo.

Passo 4

Derivada do primeiro termo \displaystyle \frac{7}{2}\,x^{2}\,(3x+1)^{-1/5}.
Primeiro tiro a constante \displaystyle \frac{7}{2} para fora:
\frac{d}{dx}\left[\frac{7}{2}\,x^{2}\,(3x+1)^{-1/5}\right]=\frac{7}{2}\cdot\frac{d}{dx}\left[x^{2}\,(3x+1)^{-1/5}\right].
Agora aplico a regra do produto a u(x)=x^{2} e v(x)=(3x+1)^{-1/5}:
\frac{d}{dx}[x^{2}\,(3x+1)^{-1/5}]= (x^{2})'\,(3x+1)^{-1/5}+x^{2}\,\frac{d}{dx}[(3x+1)^{-1/5}].
Calculo as derivadas parciais:
(x^{2})'=2x.
Para \displaystyle \frac{d}{dx}[(3x+1)^{-1/5}] uso a regra da cadeia: se g(t)=t^{-1/5} então g'(t)=-\tfrac{1}{5}t^{-6/5}, e t(x)=3x+1 tem t'(x)=3. Logo
\frac{d}{dx}[(3x+1)^{-1/5}]=- \frac{1}{5}(3x+1)^{-6/5}\cdot 3 = -\frac{3}{5}(3x+1)^{-6/5}.
Substituindo:
\frac{d}{dx}[x^{2}\,(3x+1)^{-1/5}]=2x\,(3x+1)^{-1/5} + x^{2}\left(-\frac{3}{5}(3x+1)^{-6/5}\right).
Multiplico pela constante \frac{7}{2}:
\frac{d}{dx}\left[\frac{7}{2}\,x^{2}\,(3x+1)^{-1/5}\right]=\frac{7}{2}\left[2x\,(3x+1)^{-1/5} - \frac{3}{5}x^{2}(3x+1)^{-6/5}\right].
Simplificando os fatores numéricos: \frac{7}{2}\cdot 2x=7x e \frac{7}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{21}{10}. Assim o primeiro termo derivado fica
7x\,(3x+1)^{-1/5} - \frac{21}{10}\,x^{2}\,(3x+1)^{-6/5}.

Passo 5

Derivada do segundo termo \displaystyle (3x+1)^{1/2}.
Aplico a regra da cadeia: se h(t)=t^{1/2} então h'(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}, com t(x)=3x+1 e t'(x)=3. Logo
\frac{d}{dx}[(3x+1)^{1/2}]=\frac{1}{2}(3x+1)^{-1/2}\cdot 3 = \frac{3}{2}(3x+1)^{-1/2}.

Passo 6

Agora somo as derivadas dos dois termos (regra da soma):
f'(x)=\bigl(7x\,(3x+1)^{-1/5} - \tfrac{21}{10}\,x^{2}\,(3x+1)^{-6/5}\bigr) + \frac{3}{2}(3x+1)^{-1/2}.
Podemos deixar f'(x) assim, que já está bem organizada: cada parcela mostra claramente de onde veio (produto + cadeia no primeiro termo e cadeia no segundo). Se você quiser, dá para fatorar uma potência comum de (3x+1), mas não é necessário para a prova a menos que peçam forma fatorada.

Resposta

f'(x)=7x\,(3x+1)^{-1/5}-\frac{21}{10}x^{2}\,(3x+1)^{-6/5}+\frac{3}{2}(3x+1)^{-1/2}

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