Calcule as derivadas
f(x)=ln (x) * x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de f(x)=ln(x)cdot x^2. Aqui vamos usar a regra do produto, além de conhecer as derivadas de x^n e de ln(x).

Passo 2

Aplicamos a regra do produto em f(x)=u(x),v(x) com u(x)=ln(x) e v(x)=x^2, ou seja,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada fator:
u'(x)=l(ln(x)r)'=1x, v'(x)=l(x^2r)'=2x

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =1xcdot x^2 + ln(x)cdot 2x = x + 2xln(x)

Passo 5

Para obter a segunda derivada f''(x), derivamos f'(x)=x+2xln(x). Aplicamos de novo a regra do produto em 2xln(x):
l(2xln(x)r)' =2l(xln(x)r)' =2l(underbracex'ln(x)1cdotln(x) + xcdotunderbrace(ln(x))'1/xr) =2l(ln(x)+1r)
E l(xr)'=1.

Passo 6

Somando as partes:
f''(x)=l(xr)'+l(2xln(x)r)' =1 + 2l(ln(x)+1r) =2ln(x)+3

Resposta

f'(x)=2xln(x)+x
f''(x)=2ln(x)+3

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