Calcule as derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a derivada da função $ f(x) = \ln(x^{2} + 1) $. Isso faz parte do estudo de derivadas em cálculo diferencial, especialmente quando lidamos com funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções que estão dentro de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Aqui, temos o logaritmo natural, $ \ln(u) $, onde $ u = x^{2} + 1 $. Então, nossa função é o logaritmo de outra função, que é $ x^{2} + 1 $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{u’}{u} $, onde $ u’ $ é a derivada de $ u $ em relação a $ x $. Portanto, precisamos primeiro encontrar $ u’ $.
Passo 4
Vamos derivar $ u = x^{2} + 1 $ em relação a $ x $. A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ e a derivada de $ 1 $ é $ 0 $. Então, $ u’ = 2x $.
Passo 5
Agora que temos $ u’ = 2x $, aplicamos a regra da cadeia:
Resposta
A derivada da função é $ f’(x) = \frac{2x}{x^{2} + 1} $.