Calcule as derivadas:
f(x)=ln (x^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a derivada da função $ f(x) = \ln(x^{2} + 1) $. Isso faz parte do estudo de derivadas em cálculo diferencial, especialmente quando lidamos com funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções que estão dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Aqui, temos o logaritmo natural, $ \ln(u) $, onde $ u = x^{2} + 1 $. Então, nossa função é o logaritmo de outra função, que é $ x^{2} + 1 $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{u’}{u} $, onde $ u’ $ é a derivada de $ u $ em relação a $ x $. Portanto, precisamos primeiro encontrar $ u’ $.

Passo 4

Vamos derivar $ u = x^{2} + 1 $ em relação a $ x $. A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ e a derivada de $ 1 $ é $ 0 $. Então, $ u’ = 2x $.

Passo 5

Agora que temos $ u’ = 2x $, aplicamos a regra da cadeia:
u' = 2x

Resposta

A derivada da função é $ f’(x) = \frac{2x}{x^{2} + 1} $.

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