Fatore ao máximo os polinômios:
p(x)=(x-2)^4-625.

Passo 1

O enunciado nos pede para fatorar o polinômio p(x) = (x-2)^4 - 625. O conteúdo envolvido é fatoração por diferença de quadrados e reconhecer expressões na forma A^2 - B^2.

Passo 2

Perceba que (x-2)^4 é l((x-2)^2r)^2 e 625 é 25^2. Logo, podemos reescrever:
p(x) = l((x-2)^2r)^2 - 25^2

Passo 3

Aplicando a identidade de diferença de quadrados A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) com A = (x-2)^2 e B = 25, obtemos:
p(x) = l((x-2)^2 - 25r),l((x-2)^2 + 25r)

Passo 4

Ainda temos (x-2)^2 - 25 que é outra diferença de quadrados. Assim:
(x-2)^2 - 25 = (x-2 - 5),(x-2 + 5) = (x-7)(x+3)

Passo 5

Substituindo de volta, chegamos à fatoração máxima sobre os reais:
p(x) = (x-7),(x+3),l((x-2)^2 + 25r)
Note que (x-2)^2 + 25 é irredutível em R[x].

Resposta

(x-7)(x+3)l((x-2)^2 + 25r)

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