Use coordenadas polares para mostrar que
.
Passo 1
A questão pede para mostrar que
. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e a ferramenta que vamos usar é a passagem para coordenadas polares, além de um argumento (por exemplo, Regra de L’Hôpital) para o limite de uma função de uma variável.
Passo 2
Na resolução, vamos usar as coordenadas polares definidas por
e
, onde
e
é o ângulo. Assim,
e
Passo 3
Logo, a expressão original se torna
Passo 4
Como
implica
, reduzimos o problema ao limite unidimensional
Passo 5
Para avaliar
, note que tanto
quanto
. Podemos reescrever
Passo 6
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a
:
numerador: ,
denominador: .
O limite fica
numerador:
denominador:
O limite fica
Passo 7
Portanto, o limite
é igual a zero, e isso vale para qualquer
.
Como em coordenadas polares o resultado não depende de , concluímos que
Como em coordenadas polares o resultado não depende de
Resposta
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