Use coordenadas polares para mostrar que lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) log raizx^2+y^2=0.

Passo 1

A questão pede para mostrar que lim(x,y)to(0,0)(x^2+y^2)lograizx^2+y^2=0. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e a ferramenta que vamos usar é a passagem para coordenadas polares, além de um argumento (por exemplo, Regra de L’Hôpital) para o limite de uma função de uma variável.

Passo 2

Na resolução, vamos usar as coordenadas polares definidas por x=rcostheta e y=rsintheta, onde r=raizx^2+y^2 e theta é o ângulo. Assim,
x^2+y^2=r^2
e
raizx^2+y^2=r

Passo 3

Logo, a expressão original se torna
(x^2+y^2)lograizx^2+y^2 = r^2log r

Passo 4

Como (x,y)to(0,0) implica rto0^+, reduzimos o problema ao limite unidimensional
limrto0^+ r^2log r

Passo 5

Para avaliar limrto0^+r^2log r, note que tanto log rto-infty quanto r^-2to+infty. Podemos reescrever
r^2log r = log rr^-2

Passo 6

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a r:
numerador: (log r)' = 1/r,
denominador: (r^-2)' = -2r^-3.
O limite fica
limrto0^+1/r-2r^-3 = limrto0^+l(-tfrac12 r^2r) = 0

Passo 7

Portanto, o limite limrto0^+r^2log r é igual a zero, e isso vale para qualquer theta.
Como em coordenadas polares o resultado não depende de theta, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)(x^2+y^2)lograizx^2+y^2 = 0

Resposta

0

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