Considere a função
Definida no intervalo
. Pdemos garantir que essa função tem valor máximo e valor mínimo?Por que? Se sim calcule.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
.\n
Perguntas que o enunciado faz:
Perguntas que o enunciado faz:
- Podemos garantir que a função tem valor máximo e valor mínimo no intervalo dado? Por quê?
- Se sim, calcular os valores máximo e mínimo (isto é, os pontos
onde ocorrem e os valores ).
Informações relevantes dadas:
- O domínio considerado é o intervalo fechado
. - A função é produto da função
e do polinômio .
Passo 2
Garantia de existência de extremos: explicação teórica (passo-a-passo).
- Teorema importante (enunciado em palavras simples): se uma função é contínua num intervalo fechado
, então ela atinge um valor máximo e um valor mínimo nesse intervalo (Teorema de Weierstrass). - Então preciso verificar se
é contínua em . - A função
é contínua em toda a reta (a raiz cúbica está bem definida e contínua para todos os , inclusive ). - O polinômio
é contínuo em toda a reta. - Produto de funções contínuas é contínuo, logo
é contínua em . - Conclusão: por Weierstrass, existe pelo menos um ponto de máximo e pelo menos um ponto de mínimo em
.
Passo 3
Como encontrar os candidatos a extremos (explicando conceitos):
- Em problemas numa reta e com função contínua, os pontos onde o máximo ou mínimo podem ocorrer são: (i) pontos críticos interiores onde
, (ii) pontos onde não existe (desde que estejam no interior), e (iii) os extremos do intervalo (aqui e ). - Vou calcular
para localizar pontos onde e também verificar pontos onde a derivada não existe.
Passo 4
Cálculo da derivada passo a passo (regra do produto e regra da potência):
- Escrevo
. - Regra do produto: se
e , então . - Regra da potência para
: . Isso porque, em geral, para temos ; aqui , então . - Para
temos . - Assim,
- Para manipular convenientemente, escrevo de forma combinada. Multiplico ambos os lados por
(essa multiplicação é válida para ; tratarei separadamente):
- Simplificando o lado direito:
- Portanto, para
,
Passo 5
Encontrar pontos críticos:
- Resolver
para . Como o denominador para , a equação equivale a zerar o numerador:
- Verificar pontos onde
não existe: a expressão que obtivemos mostra que não está definida em (denominador vira zero). Aqui é o extremo esquerdo do intervalo; portanto devemos considerá-lo como candidato a extremo (mesmo que a não existência da derivada o faça “crítico”). - O ponto
é um extremo do intervalo e também deve ser checado (a derivada em existe, mas ponto é candidato por ser fronteira). - Resumo dos candidatos a extremos:
(extremo do intervalo e derivada indefinida), (derivada zero), (extremo do intervalo).
Passo 6
Avaliar a função nos candidatos (cálculos detalhados):
- Calculo
:
- Calculo
:
- Calculo
:
Passo 7
Determinar quais são máximo e mínimo (interpretação e checagem de sinal da derivada para confirmar natureza de
):
- Para
o denominador é positivo. Então o sinal de é o mesmo do numerador . - Assim:
- Se
então e . A função está crescendo antes de . - Se
então e . A função está decrescendo depois de .
- Se
- Conclusão:
é um ponto de máximo local (e pelo fato de ser maior que os valores nos extremos aqui, também é máximo global no intervalo). - Comparando os valores obtidos:
e . Logo o maior valor é em ; o menor valor é , atingido em e em .
Resposta
Máximo:
em
.\n
Mínimo: em
e
em
.
Mínimo: