Considere a função
f(x)=\sqrt[3]{x}(8-x)
Definida no intervalo 0 \leq x \leq 8. Pdemos garantir que essa função tem valor máximo e valor mínimo?Por que? Se sim calcule.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt[3]{x}\,(8-x)
definida no intervalo \;0\le x\le 8.\n
Perguntas que o enunciado faz:
  • Podemos garantir que a função tem valor máximo e valor mínimo no intervalo dado? Por quê?
  • Se sim, calcular os valores máximo e mínimo (isto é, os pontos x onde ocorrem e os valores f(x)).
Informações relevantes dadas:
  • O domínio considerado é o intervalo fechado \,[0,8].
  • A função é produto da função \;x\mapsto\sqrt[3]{x} e do polinômio \;x\mapsto 8-x.

Passo 2

Garantia de existência de extremos: explicação teórica (passo-a-passo).
  • Teorema importante (enunciado em palavras simples): se uma função é contínua num intervalo fechado [a,b], então ela atinge um valor máximo e um valor mínimo nesse intervalo (Teorema de Weierstrass).
  • Então preciso verificar se f é contínua em [0,8].
  • A função \;x\mapsto\sqrt[3]{x}=x^{1/3} é contínua em toda a reta (a raiz cúbica está bem definida e contínua para todos os x, inclusive x=0).
  • O polinômio \;x\mapsto 8-x é contínuo em toda a reta.
  • Produto de funções contínuas é contínuo, logo f(x)=x^{1/3}(8-x) é contínua em [0,8].
  • Conclusão: por Weierstrass, existe pelo menos um ponto de máximo e pelo menos um ponto de mínimo em [0,8].

Passo 3

Como encontrar os candidatos a extremos (explicando conceitos):
  • Em problemas numa reta e com função contínua, os pontos onde o máximo ou mínimo podem ocorrer são: (i) pontos críticos interiores onde f'(x)=0, (ii) pontos onde f'(x) não existe (desde que estejam no interior), e (iii) os extremos do intervalo (aqui x=0 e x=8).
  • Vou calcular f'(x) para localizar pontos onde f'(x)=0 e também verificar pontos onde a derivada não existe.

Passo 4

Cálculo da derivada passo a passo (regra do produto e regra da potência):
  • Escrevo f(x)=x^{1/3}(8-x).
  • Regra do produto: se u(x)=x^{1/3} e v(x)=8-x, então f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da potência para u(x)=x^{1/3}: u'(x)=\dfrac{1}{3}x^{-2/3}. Isso porque, em geral, para x^p temos \dfrac{d}{dx}x^p= p x^{p-1}; aqui p=\tfrac{1}{3}, então p-1=-\tfrac{2}{3}.
  • Para v(x)=8-x temos v'(x)=-1.
  • Assim,
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}(8-x)+x^{1/3}(-1).
  • Para manipular convenientemente, escrevo de forma combinada. Multiplico ambos os lados por 3x^{2/3} (essa multiplicação é válida para x>0; tratarei x=0 separadamente):
3x^{2/3}f'(x)=(8-x)-3x.
  • Simplificando o lado direito:
3x^{2/3}f'(x)=8-4x.
  • Portanto, para x>0,
f'(x)=\frac{8-4x}{3x^{2/3}}.

Passo 5

Encontrar pontos críticos:
  • Resolver f'(x)=0 para x\in(0,8). Como o denominador 3x^{2/3}>0 para x>0, a equação f'(x)=0 equivale a zerar o numerador:
8-4x=0 \quad\Rightarrow\quad x=2.
  • Verificar pontos onde f'(x) não existe: a expressão que obtivemos mostra que f'(x) não está definida em x=0 (denominador vira zero). Aqui x=0 é o extremo esquerdo do intervalo; portanto devemos considerá-lo como candidato a extremo (mesmo que a não existência da derivada o faça “crítico”).
  • O ponto x=8 é um extremo do intervalo e também deve ser checado (a derivada em 8 existe, mas ponto é candidato por ser fronteira).
  • Resumo dos candidatos a extremos: x=0 (extremo do intervalo e derivada indefinida), x=2 (derivada zero), x=8 (extremo do intervalo).

Passo 6

Avaliar a função nos candidatos (cálculos detalhados):
  • Calculo f(0):
f(0)=\sqrt[3]{0}\,(8-0)=0\cdot 8 = 0.
  • Calculo f(2):
f(2)=\sqrt[3]{2}\,(8-2)=\sqrt[3]{2}\cdot 6 = 6\sqrt[3]{2}.
  • Calculo f(8):
f(8)=\sqrt[3]{8}\,(8-8)=2\cdot 0 = 0.

Passo 7

Determinar quais são máximo e mínimo (interpretação e checagem de sinal da derivada para confirmar natureza de x=2):
  • Para x\in(0,8] o denominador 3x^{2/3} é positivo. Então o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador 8-4x.
  • Assim:
    • Se 0<x<2 então 8-4x>0 e f'(x)>0. A função está crescendo antes de x=2.
    • Se 2<x\le 8 então 8-4x<0 e f'(x)<0. A função está decrescendo depois de x=2.
  • Conclusão: x=2 é um ponto de máximo local (e pelo fato de ser maior que os valores nos extremos aqui, também é máximo global no intervalo).
  • Comparando os valores obtidos: f(2)=6\sqrt[3]{2}>0 e f(0)=f(8)=0. Logo o maior valor é 6\sqrt[3]{2} em x=2; o menor valor é 0, atingido em x=0 e em x=8.

Resposta

Máximo: f(2)=6\sqrt[3]{2} em x=2.\n
Mínimo: f(0)=0 em x=0 e f(8)=0 em x=8.

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