Calcule as derivadas da funções abaixo
f(x)=arctan ^3(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(arctan(x^2+1)r)^3
O conteúdo principal é a regra da cadeia, usando que
  1. (u^3)' = 3u^2u',
  2. l(arctan vr)' = dfracv'1+v^2,
  3. (x^2+1)' = 2x.

Passo 2

Para organizar, definimos funções internas:
h(x) = x^2+1, g(x)=arctanl(h(x)r), f(x)=l(g(x)r)^3

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em f(x)=(g(x))^3, temos
f'(x)=3l(g(x)r)^2,g'(x)

Passo 4

Derivada de h(x):
h'(x)=2x

Passo 5

Agora derivamos g(x)=arctanl(h(x)r) pela regra da cadeia em arctan:
g'(x)=h'(x)1+l(h(x)r)^2 =2x1+(x^2+1)^2

Passo 6

Substituindo g(x) e g'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =3l(arctan(x^2+1)r)^2cdot2x1+(x^2+1)^2 =6x,[arctan(x^2+1)]^21+(x^2+1)^2

Resposta

f'(x)=6x,[arctan(x^2+1)]^21+(x^2+1)^2

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