Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
y=raizx, y=x2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região delimitada por y=raizx e y=tfracx2 e calcular sua área. A região situa-se no primeiro quadrante, entre as curvas que se encontram em (0,0) e (4,2): raizx é uma curva côncava, crescente, e tfracx2 é uma reta ascendente. Vamos usar integração para achar a área entre elas.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, igualamos as curvas:
raizx = x2
Colocando raizx=t, obtemos t^2=2t, logo t=0 ou t=2, ou seja x=0 e x=4. Os pontos de interseção são (0,0) e (4,2).
Precisamos saber qual curva fica por cima entre x=0 e x=4. Tomando x=1 como exemplo, raiz1=1 e 1/2=0,5. Então raizx é sempre maior que tfracx2 nesse intervalo.

Passo 3

A área procurada é dada por
A = integral0^4 l(raizx - tfracx2r),dx

Passo 4

Calculando separadamente:
integral0^4 raizx,dx = [tfrac23x^3/2]0^4 = tfrac23cdot 8 = tfrac163,
integral0^4 tfracx2,dx = [tfracx^24]0^4 = tfrac164 = 4
Subtraindo:
A = tfrac163 - 4 = tfrac43

Resposta

A área da região é tfrac43 unidades quadradas.

Exercícios relacionados