Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região delimitada por
e
e calcular sua área. A região situa-se no primeiro quadrante, entre as curvas que se encontram em
e
:
é uma curva côncava, crescente, e
é uma reta ascendente. Vamos usar integração para achar a área entre elas.
Passo 2
Para encontrar os limites de integração, igualamos as curvas:
Colocando
, obtemos
, logo
ou
, ou seja
e
. Os pontos de interseção são
e
.
Precisamos saber qual curva fica por cima entre e
. Tomando
como exemplo,
e
. Então
é sempre maior que
nesse intervalo.
Precisamos saber qual curva fica por cima entre
Passo 3
A área procurada é dada por
Passo 4
Calculando separadamente:
Subtraindo:
Resposta
A área da região é
unidades quadradas.