Prove que a função
é uma solução da equação diferencial de segunda ordem
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
satisfaz a equação diferencial de segunda ordem
. O conteúdo aqui é verificação de solução de EDO linear homogênea, e vamos precisar calcular as derivadas de
e substituí-las na equação.
Passo 2
Começamos encontrando a primeira derivada. Aplicando a regra do produto em
e derivando
obtemos:
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada derivando
. De novo usamos a regra do produto no segundo termo:
Passo 4
Chegou a hora de substituir
e
na equação
. Temos:
Agora é só agrupar termos semelhantes: o termo
aparece uma vez em
, duas vezes em
(com sinal negativo), e uma vez em
, totalizando zero. O termo
aparece duas vezes em
(com
) e em
(com
), também cancelando.
Passo 5
Com as cancelas todas feitas, o lado esquerdo vira zero, exatamente como exige a EDO. Assim concluímos que
é de fato solução de
.
Resposta
A função
satisfaz a equação diferencial
, logo é solução da EDO.