Prove que a função y(x)=2 e^-x+x e^-x é uma solução da equação diferencial de segunda ordem y^prime prime+2 y^prime+y=0
l y(x)=2 e^-x+x e^-x y^prime(x)=(2 e^-x)' + (x e^-x)' = -2e^-x + e^-x - xe^-x = -e^-x - xe^-x y^prime prime(x)=(-e^-x - xe^-x)' = e^-x - e^-x + xe^-x = xe^-x y^prime prime+2 y^prime+y=0 xe^-x + 2(-e^-x - xe^-x) + (2 e^-x+x e^-x) = xe^-x -2e^-x -2xe^-x + 2e^-x + xe^-x = 0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função y(x)=2e^-x+x e^-x satisfaz a equação diferencial de segunda ordem y''+2y'+y=0. O conteúdo aqui é verificação de solução de EDO linear homogênea, e vamos precisar calcular as derivadas de y(x) e substituí-las na equação.

Passo 2

Começamos encontrando a primeira derivada. Aplicando a regra do produto em x e^-x e derivando 2e^-x obtemos:
y'(x)=(2e^-x)' + (x e^-x)'= -2e^-x +l(1cdot e^-x + xcdot(-e^-x)r)= -2e^-x+e^-x-xe^-x=-e^-x-xe^-x

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada derivando y'(x)=-e^-x-x e^-x. De novo usamos a regra do produto no segundo termo:
y''(x)=(-e^-x)' +(-x e^-x)'= e^-x +l(-1cdot e^-x + (-x)cdot(-e^-x)r)= e^-x-e^-x+xe^-x=xe^-x

Passo 4

Chegou a hora de substituir y, y' e y'' na equação y''+2y'+y=0. Temos:
y''+2y'+y =l(xe^-xr)+2l(-e^-x-xe^-xr)+l(2e^-x+xe^-xr)
Agora é só agrupar termos semelhantes: o termo xe^-x aparece uma vez em y'', duas vezes em 2y' (com sinal negativo), e uma vez em y, totalizando zero. O termo e^-x aparece duas vezes em 2y' (com -2e^-x) e em y (com +2e^-x), também cancelando.

Passo 5

Com as cancelas todas feitas, o lado esquerdo vira zero, exatamente como exige a EDO. Assim concluímos que y(x)=2e^-x+x e^-x é de fato solução de y''+2y'+y=0.

Resposta

A função y(x)=2e^-x+x e^-x satisfaz a equação diferencial y''+2y'+y=0, logo é solução da EDO.

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