Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é combinação linear de duas funções:
(arccoseno) e (arctangente). - O domínio natural de
é . O domínio de é todo . - A derivada que vamos encontrar será válida onde as derivadas individuais existem; em particular a fórmula para a derivada de
requer .
Passo 2
Derivada de
(explicação detalhada).
- Seja
. Isto equivale a com . - Diferenciando ambos os lados em relação a
: . - Isolando
obtemos . - Agora escrevemos
em função de . Como ,
onde usamos a raiz positiva porque para
temos
.
- Portanto a fórmula final é
válida para
.
Passo 3
Derivada de
(explicação passo a passo).
- Seja
. Então com . - Diferenciando em relação a
: . - Assim
. - Usando a identidade trigonométrica
e substituindo , vem
válida para todo
.
Passo 4
Aplicação da linearidade da derivada à função dada.
- A derivada de uma combinação linear é a combinação linear das derivadas. Logo
- Substituindo as fórmulas que obtivemos:
- Simplificando:
Passo 5
Observações finais e domínio da derivada.
- A expressão encontrada para
exige que a primeira parcela esteja definida, ou seja . A segunda parcela está definida para todo . - Portanto a derivada dada por
é válida para
.
- Força aí! Se a prova pedir tipos de raciocínio: lembrar do truque de definir
função inversa, derivar implicitamente, e substituir trigonometria inversa por funções trigonométricas conhecidas costuma salvar tempo.