Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(t)=4 \cos ^{-1} t-10 \operatorname{tg}^{-1} t

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(t)=4\cos^{-1}t-10\operatorname{tg}^{-1}t.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é combinação linear de duas funções: \cos^{-1}t (arccoseno) e \operatorname{tg}^{-1}t (arctangente).
  • O domínio natural de \cos^{-1}t é t\in[-1,1]. O domínio de \operatorname{tg}^{-1}t é todo \mathbb{R}.
  • A derivada que vamos encontrar será válida onde as derivadas individuais existem; em particular a fórmula para a derivada de \cos^{-1}t requer -1<t<1.

Passo 2

Derivada de \cos^{-1}t (explicação detalhada).
  • Seja \displaystyle y=\cos^{-1}t. Isto equivale a \cos y=t com y\in[0,\pi].
  • Diferenciando ambos os lados em relação a t: \displaystyle -\sin y\frac{dy}{dt}=1.
  • Isolando \dfrac{dy}{dt} obtemos \displaystyle \frac{dy}{dt}=-\frac{1}{\sin y}.
  • Agora escrevemos \sin y em função de t. Como \cos y=t,
\sin y=\sqrt{1-\cos^2 y}=\sqrt{1-t^2},
onde usamos a raiz positiva porque para y\in[0,\pi] temos \sin y\ge0.
  • Portanto a fórmula final é
\frac{d}{dt}\big(\cos^{-1}t\big)=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}},
válida para -1<t<1.

Passo 3

Derivada de \operatorname{tg}^{-1}t (explicação passo a passo).
  • Seja \displaystyle y=\operatorname{tg}^{-1}t. Então \tan y=t com y\in\big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big).
  • Diferenciando em relação a t: \displaystyle \operatorname{sec}^2 y\frac{dy}{dt}=1.
  • Assim \displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{1}{\operatorname{sec}^2 y}.
  • Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^2 y=1+\tan^2 y e substituindo \tan y=t, vem
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{tg}^{-1}t\big)=\frac{1}{1+t^2},
válida para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Aplicação da linearidade da derivada à função dada.
  • A derivada de uma combinação linear é a combinação linear das derivadas. Logo
f'(t)=4\cdot\frac{d}{dt}\big(\cos^{-1}t\big)-10\cdot\frac{d}{dt}\big(\operatorname{tg}^{-1}t\big).
  • Substituindo as fórmulas que obtivemos:
f'(t)=4\left(-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\right)-10\left(\frac{1}{1+t^2}\right).
  • Simplificando:
f'(t)=-\frac{4}{\sqrt{1-t^2}}-\frac{10}{1+t^2}.

Passo 5

Observações finais e domínio da derivada.
  • A expressão encontrada para f'(t) exige que a primeira parcela esteja definida, ou seja -1<t<1. A segunda parcela está definida para todo t.
  • Portanto a derivada dada por
f'(t)=-\frac{4}{\sqrt{1-t^2}}-\frac{10}{1+t^2}
é válida para -1<t<1.
  • Força aí! Se a prova pedir tipos de raciocínio: lembrar do truque de definir y= função inversa, derivar implicitamente, e substituir trigonometria inversa por funções trigonométricas conhecidas costuma salvar tempo.

Resposta

f'(t)=-\frac{4}{\sqrt{1-t^2}}-\frac{10}{1+t^2}

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