Calcule as derivadas das funções abaixo: f(x)=\operatorname{arcsen}\left(e^{x} \ln x\right)
onde a \in \mathbb{R} é una constante.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\operatorname{arcsen}\!\big(e^{x}\ln x\big) e pede a derivada f'(x). Informação extra mencionada: a\in\mathbb{R} é uma constante (essa constante não aparece na função dada).
Dados importantes e restrições que o enunciado fornece ou implica:
A expressão \ln x está definida somente para x>0. Portanto qualquer ponto onde calcular a derivada precisa satisfazer x>0.
Para que \operatorname{arcsen} (arcsin) seja aplicada, o argumento precisa satisfazer -1 \le e^{x}\ln x \le 1. Para existência da derivada é preciso, ainda, evitar pontos onde o denominador (veremos depois) se anula.
O que se pede: calcular explicitamente f'(x) (e indicar onde essa derivada existe).
Passo 2
Lembrete útil: regra da cadeia para composição de funções. Se
f(x)=g\big(u(x)\big),
então
f'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Aqui temos g(t)=\operatorname{arcsen}(t) e u(x)=e^{x}\ln x. Primeiro precisamos saber g'(t).
Passo 3
Derivada da função \operatorname{arcsen}(t). A derivada bem conhecida (resultado que vale para -1<t<1) é
Explicando por que: \operatorname{arcsen} é a função inversa de \sin restrita; diferenciando t=\sin(y) e invertendo a relação obtém-se a fórmula acima. Aqui usaremos essa fórmula com t=u(x).
Passo 4
Agora calculamos u'(x) para u(x)=e^{x}\ln x. Trata-se de um produto de e^{x} por \ln x, então usamos a regra do produto:
se u(x)=v(x)w(x) então u'(x)=v'(x)w(x)+v(x)w'(x).
Tomando v(x)=e^{x} e w(x)=\ln x:
v'(x)=e^{x} porque a derivada de e^{x} é e^{x}.
w'(x)=\dfrac{1}{x} porque a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x} (válida para x>0).
Portanto
u'(x)=e^{x}\ln x + e^{x}\cdot\frac{1}{x}.
Fatorando e^{x} obtemos a forma mais limpa:
u'(x)=e^{x}\!\left(\ln x+\frac{1}{x}\right).
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia com g'(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} e t=u(x)=e^{x}\ln x, obtemos
Domínio de validade da expressão da derivada: como observado no Passo 1, é preciso ter x>0 (para \ln x e para 1/x existirem) e o denominador real e não nulo, isto é
Se \big|e^{x}\ln x\big|=1 o denominador é zero e a derivada não existe (tende a infinito). Portanto a fórmula dada em bloco vale para x>0 tais que \big|e^{x}\ln x\big|<1.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar: em x=1 temos \ln 1=0 e e^{1}\ln 1=0. Assim a derivada naquele ponto vale