Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Ou seja, a pergunta é: qual é
para essa função? As informações relevantes são exatamente os coeficientes numéricos
e
e a presença de
no numerador e no denominador.
Passo 2
Qual regra usar? Aqui temos uma função dada como quociente de duas funções de
(um numerador e um denominador). A forma mais direta é aplicar a regra do quociente. Vou explicar essa regra devagar para ficar claro como aplicar.
Passo 3
Regra do quociente (explicação): para duas funções
e
com
, a derivada de
é
Aqui
significa a derivada de
em relação a
e
a derivada de
. A ideia é: derive o numerador, multiplique pelo denominador; subtraia o numerador vezes a derivada do denominador; divida pelo quadrado do denominador. Exemplo simples: se
e
, então
,
e aplica-se a fórmula.
Também precisamos lembrar que a derivada de
é
. Isso é fundamental aqui.
Passo 4
Identificamos
e
:
Agora calculamos as derivadas
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Agora desenvolvemos o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Portanto o numerador simplifica para
.
Passo 6
Substituindo a simplificação, obtemos a forma final da derivada:
Pequena observação útil para a prova: aqui o resultado ficou simples porque os termos em
se cancelaram. Como
e o denominador ao quadrado é positivo, a derivada é positiva para todo
, então a função é estritamente crescente — isso pode ajudar a interpretar gráficos em perguntas relacionadas.