Calcule as derivadas das funções abaixo:
y=\frac{5 e^{x}}{3 e^{x}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\frac{5 e^{x}}{3 e^{x}+1}.
Ou seja, a pergunta é: qual é \dfrac{dy}{dx} para essa função? As informações relevantes são exatamente os coeficientes numéricos 5 e 3 e a presença de e^{x} no numerador e no denominador.

Passo 2

Qual regra usar? Aqui temos uma função dada como quociente de duas funções de x (um numerador e um denominador). A forma mais direta é aplicar a regra do quociente. Vou explicar essa regra devagar para ficar claro como aplicar.

Passo 3

Regra do quociente (explicação): para duas funções u(x) e v(x) com v(x)\neq0, a derivada de \dfrac{u(x)}{v(x)} é
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u'(x) significa a derivada de u em relação a x e v'(x) a derivada de v. A ideia é: derive o numerador, multiplique pelo denominador; subtraia o numerador vezes a derivada do denominador; divida pelo quadrado do denominador. Exemplo simples: se u=x^{2} e v=x+1, então u'=2x, v'=1 e aplica-se a fórmula.
Também precisamos lembrar que a derivada de e^{x} é \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Isso é fundamental aqui.

Passo 4

Identificamos u e v:
u(x)=5e^{x},\qquad v(x)=3e^{x}+1.
Agora calculamos as derivadas u' e v':
u'(x)=5e^{x}\quad\text{(porque a derivada de }5e^{x}\text{ é }5\cdot e^{x}\text{)},é
v'(x)=3e^{x}\quad\text{(porque a derivada de }3e^{x}+1\text{ é }3\cdot e^{x}+0\text{)}.é

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
\frac{dy}{dx}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{(5e^{x})(3e^{x}+1)-(5e^{x})(3e^{x})}{(3e^{x}+1)^{2}}.
Agora desenvolvemos o numerador passo a passo:
(5e^{x})(3e^{x}+1)=15e^{2x}+5e^{x},
(5e^{x})(3e^{x})=15e^{2x}.
Subtraindo:
15e^{2x}+5e^{x}-15e^{2x}=5e^{x}.
Portanto o numerador simplifica para 5e^{x}.

Passo 6

Substituindo a simplificação, obtemos a forma final da derivada:
\frac{dy}{dx}=\frac{5e^{x}}{(3e^{x}+1)^{2}}.
Pequena observação útil para a prova: aqui o resultado ficou simples porque os termos em e^{2x} se cancelaram. Como e^{x}>0 e o denominador ao quadrado é positivo, a derivada é positiva para todo x, então a função é estritamente crescente — isso pode ajudar a interpretar gráficos em perguntas relacionadas.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{5e^{x}}{(3e^{x}+1)^{2}}

Exercícios relacionados