Calcule as derivadas da funções abaixo
(a) f(x)=arccos ^4(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = l(arccos(x^2+1)r)^4
Vamos usar a regra da cadeia em duas etapas: primeiro para a potência quarta e depois para a função arccos.

Passo 2

Definimos internamente
u(x) = arccosl(v(x)r), v(x)=x^2+1,
de modo que f(x)=u(x)^4. Pela regra da potência,
f'(x) = 4,u(x)^3cdot u'(x) =4l(arccos(x^2+1)r)^3,ddxl[arccos(x^2+1)r]

Passo 3

Agora derivamos arccos(z). Sabe-se que
ddzl[arccos(z)r] =-1raiz1-z^2
Aqui z=v(x)=x^2+1, então
ddxl[arccos(x^2+1)r] =-1raiz1-(x^2+1)^2cdotddx(x^2+1)

Passo 4

Calculamos ddx(x^2+1)=2x. Substituindo em f'(x) obtemos
f'(x) =4l(arccos(x^2+1)r)^3 l(-2xraiz1-(x^2+1)^2r) =-8xl(arccos(x^2+1)r)^3raiz1-(x^2+1)^2

Resposta

f'(x) = -8xl(arccos(x^2+1)r)^3raiz1-(x^2+1)^2

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