- Verifique se a sequência cujo o termo geral é dado abaixo é convergente.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para verificar se ela converge quando
. O conteúdo envolvido é cálculo de integral imprópria e limites de sequências. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e depois avaliar o limite de
.
Passo 2
Note que
Fazendo frações parciais, buscamos constantes
e
tais que
Multiplicando por
dá
Escolhendo valores convenientes, vemos que
e
. Logo,
Passo 3
Substituindo na integral,
Cada integral é imediatamente uma diferença de logaritmos:
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo de
a
,
Como
, isso simplifica para
Passo 5
Agora basta olhar o limite de
quando
. Como
temos
Portanto a sequência é convergente e seu limite é
.
Resposta
A sequência converge e