1. Verifique se a sequência cujo o termo geral é dado abaixo é convergente.
an=integral2^n 1x^2-x d x

Passo 1

O enunciado define a sequência
an=integral2^n1x^2-x,dx
e pede para verificar se ela converge quando ntoinfty. O conteúdo envolvido é cálculo de integral imprópria e limites de sequências. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e depois avaliar o limite de an.

Passo 2

Note que
1x^2-x=1x(x-1)
Fazendo frações parciais, buscamos constantes A e B tais que
1x(x-1)=Ax-1+Bx
Multiplicando por x(x-1)
1 = A,x + B,(x-1)
Escolhendo valores convenientes, vemos que A=1 e B=-1. Logo,
1x^2-x =1x-1-1x

Passo 3

Substituindo na integral,
an =integral2^nl(1x-1-1xr),dx =integral2^n1x-1,dx ;-;integral2^n1x,dx
Cada integral é imediatamente uma diferença de logaritmos:
integral1x-1,dx = ln|x-1|, integral1x,dx = ln|x|

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo de 2 a n,
an =l[ln(x-1)r]2^n;-;l[ln(x)r]2^n =l(ln(n-1)-ln(1)r);-;l(ln(n)-ln(2)r)
Como ln(1)=0, isso simplifica para
an =ln(n-1)-ln(n)+ln(2) =ln!l(tfracn-1nr)+ln(2) =ln!l(2cdottfracn-1nr) =ln!l(2-tfrac2nr)

Passo 5

Agora basta olhar o limite de an quando ntoinfty. Como
2-tfrac2n;longrightarrow;2,
temos
an=ln!l(2-tfrac2nr);longrightarrow;ln(2)
Portanto a sequência é convergente e seu limite é ln(2).

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan=ln(2)

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