(10 pontos) Faca um esboço do gráfico da função
que satisfaz as seguintes
(a)
(b)
é contínua em
.
(c)
é crescente em
(d)
é crescente em
(e)
é crescente em
(f)
é crescente em
(g)
é decrescente em
(h)
é côncava para cima em
(i)
é côncava para baixo em
(j)
é côncava para cima em
(k)
é côncava para baixo em
(l)
é côncava para cima em
(m) A assintota horizontal ao gráfico é
(n) As assintotas verticais ao gráfico são
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m) A assintota horizontal ao gráfico é
(n) As assintotas verticais ao gráfico são
Passo 1
O enunciado pede um esboço qualitativo do gráfico de uma função
que satisfaz as seguintes condições:
- Domínio .
-
é contínua em . - Monotonicidade: crescente em
, , , e decrescente em . - Concavidade: para cima em
, para baixo em , para cima em , para baixo em e para cima em . - Assintotas: horizontais
e verticais , .
Vamos usar a informação de monotonicidade e concavidade em cada intervalo, junto com as assintotas, para esboçar qualitativamente a curva.
Passo 2
Determinar o comportamento nos limites que definem as assintotas:
- Como existe assintota horizontal
,
e . - Nas assintotas verticais: para manter a função crescente em
deve valer
.
Para continuar crescente em, escolhemos
.
Analogamente, paracrescente, tomamos
e paracrescente
.
Passo 3
Marcar pontos notáveis de inflexão e extremos locais induzidos pela mudança de concavidade e monotonicidade:
- Em
a concavidade muda de baixo (em ) para cima (em ), logo há ponto de inflexão em . - Em
a monotonicidade muda de crescente para decrescente, portanto há máximo local em . - Em
a concavidade muda de baixo (em ) para cima (em ), logo há inflexão em .
Podemos escolher, para dar ideia numérica,
e
; esses valores apenas fixam a escala vertical no esboço.
Passo 4
Descrever o esboço em cada intervalo:
-
Em
: -
é crescente e côncava para cima. - Sai de
quando (assintota ), sobe convexamente e vai a quando .
-
-
Em
: -
é crescente e côncava para baixo. - Sai de
em e sobe, curvando para baixo, até chegar em (ponto de inflexão em ).
-
-
Em
: -
é crescente e côncava para cima. - Parte de
, sobe convexamente e vai a quando .
-
-
Em
: -
é crescente e côncava para baixo (trecho de concavidade invertida em relação ao anterior). - Parte de
em , sobe até o máximo local .
-
-
Em
: -
é decrescente e côncava para baixo. - Sai de
e desce, curvando para baixo, até o ponto de inflexão em .
-
-
Em
: -
é decrescente e côncava para cima. - Desce convexamente e se aproxima de
quando .
-
Passo 5
Reunindo tudo, as assintotas verticais são as retas tracejadas
e
, a assintota horizontal é
, e o gráfico passa pelos pontos de inflexão em
e
, além de ter máximo local em
.
O esboço qualitativo é este:
| ↑ concavidade
∞ | /‾‾‾‾‾‾‾|‾‾‾‾‾‾‾\ crescente
| / | \ /‾‾‾ maximum
| / | \ / 2
y=1 __|_/__________|_________\_/________→ x
-1 0 1 3
|‾‾\ | /
-∞ | \ | /
| \_____/‾‾‾‾‾‾
| ↑ decrescente
| vertical
Onde:
- Linhas tracejadas verticais em
marcam assintotas verticais. - Linha tracejada horizontal em
é a assintota horizontal. - A curva sobe convexa em cada trecho crescente e desce com a concavidade indicada, tendo os pontos de inflexão e máximo local nos abscissas anotadas.
Resposta
Esboço qualitativo do gráfico conforme descrito acima, com assintotas verticais
, assintota horizontal
, inflexões em
e máximo local em
.