(10 pontos) Faca um esboço do gráfico da função f que satisfaz as seguintes
(a) Dom(f)=R--1,1
(b) f é contínua em Dom(f).
(c) f é crescente em (-infty,-1)
(d) f é crescente em (-1,0)
(e) f é crescente em (0,1)
(f) f é crescente em (1,2)
(g) f é decrescente em (2, infty)
(h) f é côncava para cima em (-infty,-1)
(i) f é côncava para baixo em (-1,0)
(j) f é côncava para cima em (0,1)
(k) f é côncava para baixo em (1,3)
(l) f é côncava para cima em (3, infty)
(m) A assintota horizontal ao gráfico é y=1
(n) As assintotas verticais ao gráfico são x=-1 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede um esboço qualitativo do gráfico de uma função que satisfaz as seguintes condições:
  • Domínio .
  • é contínua em .
  • Monotonicidade: crescente em , , , e decrescente em .
  • Concavidade: para cima em , para baixo em , para cima em , para baixo em e para cima em .
  • Assintotas: horizontais e verticais , .
Vamos usar a informação de monotonicidade e concavidade em cada intervalo, junto com as assintotas, para esboçar qualitativamente a curva.

Passo 2

Determinar o comportamento nos limites que definem as assintotas:
  • Como existe assintota horizontal y=1,
    limxto -inftyf(x)=1 e limxto +inftyf(x)=1.
  • Nas assintotas verticais: para manter a função crescente em (-infty,-1) deve valer
    limxto -1^-f(x)=+infty.
    Para continuar crescente em (-1,0), escolhemos
    limxto -1^+f(x)=-infty.
    Analogamente, para (0,1) crescente, tomamos
    limxto 1^-f(x)=+infty
    e para (1,2) crescente
    limxto 1^+f(x)=-infty.

Passo 3

Marcar pontos notáveis de inflexão e extremos locais induzidos pela mudança de concavidade e monotonicidade:
  • Em x=0 a concavidade muda de baixo (em (-1,0)) para cima (em (0,1)), logo há ponto de inflexão em x=0.
  • Em x=2 a monotonicidade muda de crescente para decrescente, portanto há máximo local em x=2.
  • Em x=3 a concavidade muda de baixo (em (1,3)) para cima (em (3,infty)), logo há inflexão em x=3.
Podemos escolher, para dar ideia numérica, f(0)=0 e f(2)=2; esses valores apenas fixam a escala vertical no esboço.

Passo 4

Descrever o esboço em cada intervalo:
  1. Em (-infty,-1):
    • f é crescente e côncava para cima.
    • Sai de f(x)approx1 quando xto-infty (assintota y=1), sobe convexamente e vai a +infty quando xto -1^-.
  2. Em (-1,0):
    • f é crescente e côncava para baixo.
    • Sai de -infty em x=-1^+ e sobe, curvando para baixo, até chegar em f(0)=0 (ponto de inflexão em x=0).
  3. Em (0,1):
    • f é crescente e côncava para cima.
    • Parte de f(0)=0, sobe convexamente e vai a +infty quando xto1^-.
  4. Em (1,2):
    • f é crescente e côncava para baixo (trecho de concavidade invertida em relação ao anterior).
    • Parte de -infty em x=1^+, sobe até o máximo local f(2)=2.
  5. Em (2,3):
    • f é decrescente e côncava para baixo.
    • Sai de f(2)=2 e desce, curvando para baixo, até o ponto de inflexão em x=3.
  6. Em (3,infty):
    • f é decrescente e côncava para cima.
    • Desce convexamente e se aproxima de y=1 quando xto+infty.

Passo 5

Reunindo tudo, as assintotas verticais são as retas tracejadas x=-1 e x=1, a assintota horizontal é y=1, e o gráfico passa pelos pontos de inflexão em x=0 e x=3, além de ter máximo local em x=2.
O esboço qualitativo é este:
        |           ↑                      concavidade
    ∞   |    /‾‾‾‾‾‾‾|‾‾‾‾‾‾‾\            crescente
        |   /        |       \     /‾‾‾ maximum
        |  /         |        \   /       2
  y=1 __|_/__________|_________\_/________→ x
      -1           0 1        3
        |‾‾\        |       /
    -∞  |   \       |      /
        |    \_____/‾‾‾‾‾‾
        |       ↑         decrescente
        |    vertical
Onde:
  • Linhas tracejadas verticais em x=-1,1 marcam assintotas verticais.
  • Linha tracejada horizontal em y=1 é a assintota horizontal.
  • A curva sobe convexa em cada trecho crescente e desce com a concavidade indicada, tendo os pontos de inflexão e máximo local nos abscissas anotadas.

Resposta

Esboço qualitativo do gráfico conforme descrito acima, com assintotas verticais x=-1,1, assintota horizontal y=1, inflexões em x=0,3 e máximo local em x=2.

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