Questão (2(4,5)) : Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
\sum_{n=2}{\infty}(-1){n} \frac{\ln (\ln (n))}{\ln (n)}
\sum_{n=2}{\infty}(-1){n} \frac{\ln (\ln (n))}{\ln (n)}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
sem usar o teste da razão ou da raiz.
O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz (série alternante): uma série
converge se
O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz (série alternante): uma série
converge se
-
, -
é monótona decrescente (a partir de algum ), -
.
Aqui.
Passo 2
Verificamos que
para todo
, e calculamos o limite:
pois o logaritmo duplo cresce muito mais devagar que o logaritmo simples.
Passo 3
Mostramos que
é decrescente para
grande. Defina
Então
Para
temos
, logo
. Assim, a partir de
a sequência
é decrescente.
Passo 4
Como
,
e
é (eventualmente) decrescente, pelo Teste de Leibniz a série alternante converge.
Resposta
A série
é convergente.