Questão (2(4,5)) : Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
\sum_{n=2}{\infty}(-1){n} \frac{\ln (\ln (n))}{\ln (n)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=2^infty(-1)^nln(ln(n))ln(n),
sem usar o teste da razão ou da raiz.
O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz (série alternante): uma série
sum(-1)^nan
converge se
  1. an>=0,
  2. an é monótona decrescente (a partir de algum n),
  3. limntoinftyan=0.
    Aqui an=dfracln(ln(n))ln(n).

Passo 2

Verificamos que
an=ln(ln(n))ln(n)>0
para todo n>=2, e calculamos o limite:
limntoinftyan =limntoinftyln(ln(n))ln(n)=0,
pois o logaritmo duplo cresce muito mais devagar que o logaritmo simples.

Passo 3

Mostramos que an é decrescente para n grande. Defina
f(x)=ln(ln(x))ln(x), x>1
Então
f'(x) =l(tfrac1xln(x)r)ln(x)-ln(ln(x))tfrac1xln^2(x) =1-ln(ln(x))x,ln^2(x)
Para x>e^e temos ln(ln(x))>1, logo f'(x)<0. Assim, a partir de n>=16 a sequência an=f(n) é decrescente.

Passo 4

Como an>=0, lim an=0 e an é (eventualmente) decrescente, pelo Teste de Leibniz a série alternante converge.

Resposta

A série sumn=2^infty(-1)^nln(ln(n))ln(n) é convergente.

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