Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\frac{\sqrt{x}+a}{\sqrt{x}-a}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = \frac{\sqrt{x} + a}{\sqrt{x} - a},
onde a é constante. Vamos usar a regra do quociente e a derivada de \sqrt{x}.

Passo 2

Definimos
g(x) = \sqrt{x} + a \quad\text{e}\quad h(x) = \sqrt{x} - a.
Como \displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}},
temos
g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \quad\text{e}\quad h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) = \frac{g'(x)\,h(x) - g(x)\,h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x}-a)\;-\;\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x}+a)}{(\sqrt{x}-a)^2}.

Passo 4

No numerador fatoramos \frac1{2\sqrt{x}}:
\frac1{2\sqrt{x}}\bigl[(\sqrt{x}-a)-(\sqrt{x}+a)\bigr] = \frac1{2\sqrt{x}}\bigl(-2a\bigr) = -\frac{a}{\sqrt{x}}.
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f'(x) = -\frac{a}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}-a)^2}.

Resposta

f'(x) = -\frac{a}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}-a)^2}.

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