Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\frac{x^{5}+\cos x}{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de
f(x) = \frac{x^{5} + \cos x}{\sin x}\,.
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente, além das derivadas de \cos x e de \sin x.

Passo 2

Definimos
u(x) = x^{5} + \cos x \quad\text{e}\quad v(x) = \sin x.
Calculamos u'(x) e v'(x):
u'(x) = 5x^{4} - \sin x, \qquad v'(x) = \cos x.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} = \frac{\bigl(5x^{4} - \sin x\bigr)\sin x - \bigl(x^{5} + \cos x\bigr)\cos x}{\sin^{2}x}.

Passo 4

Expandindo o numerador:
(5x^{4} - \sin x)\sin x = 5x^{4}\sin x - \sin^{2}x,
(x^{5} + \cos x)\cos x = x^{5}\cos x + \cos^{2}x.
Logo o numerador fica
5x^{4}\sin x - \sin^{2}x \;-\; x^{5}\cos x - \cos^{2}x.

Passo 5

Usando a identidade \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1, temos
- \sin^{2}x - \cos^{2}x = -1.
Portanto o numerador simplifica para
5x^{4}\sin x \;-\; x^{5}\cos x \;-\; 1,
e a derivada final é

Resposta

f'(x) = \frac{5x^{4}\sin x - x^{5}\cos x - 1}{\sin^{2}x}\,.

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