Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\left(\left(5 x^{2}-3 x+7\right) \cdot\left(3 x^{3}+2 x^{2}-9 x+1\right)\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl((5x^2-3x+7)\,(3x^3+2x^2-9x+1)\bigr)^3.
O conteúdo aqui é a aplicação da regra da cadeia combinada com a regra do produto.

Passo 2

Definimos
A(x)=5x^2-3x+7, \quad B(x)=3x^3+2x^2-9x+1,
de modo que
u(x)=A(x)\,B(x),
e
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^3.
Pela regra da cadeia, teremos
f'(x)=3\,\bigl(u(x)\bigr)^2\;u'(x).

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto para obter u'(x):
u'(x)=A'(x)\,B(x)+A(x)\,B'(x).
Calculando as derivadas de A e B, temos
A'(x)=10x-3, \quad B'(x)=9x^2+4x-9.
Logo,
u'(x)=(10x-3)\,(3x^3+2x^2-9x+1)+(5x^2-3x+7)\,(9x^2+4x-9).

Passo 4

Expandindo e combinando termos semelhantes em u'(x), obtemos
(10x-3)(3x^3+2x^2-9x+1)=30x^4+11x^3-96x^2+37x-3,
(5x^2-3x+7)(9x^2+4x-9)=45x^4-7x^3+6x^2+55x-63,
portanto
u'(x)=75x^4+4x^3-90x^2+92x-66.

Passo 5

Substituindo u(x) e u'(x) na expressão de f'(x), vem
f'(x) =3\bigl((5x^2-3x+7)(3x^3+2x^2-9x+1)\bigr)^2 \bigl(75x^4+4x^3-90x^2+92x-66\bigr).

Resposta

f'(x) =3\bigl((5x^2-3x+7)(3x^3+2x^2-9x+1)\bigr)^2 \bigl(75x^4+4x^3-90x^2+92x-66\bigr).

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