Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\left(3 x^{-4}-2 x^{-3}+x\right)^{4} \cdot\left(\sqrt{x^{2}+3 x+2}\right)

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=\bigl(3x^{-4}-2x^{-3}+x\bigr)^{4}\,\sqrt{x^{2}+3x+2}
e pede f'(x). Vamos usar as regras de derivação de produto, cadeia e potência, além da derivada de raiz quadrada.

Passo 2

Definimos
u(x)=3x^{-4}-2x^{-3}+x, \quad v(x)=\sqrt{x^{2}+3x+2}=(x^{2}+3x+2)^{\tfrac12},
de modo que
f(x)=u(x)^{4}\,v(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) termo a termo, usando potência:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{-4}\bigr)=3\cdot(-4)x^{-5}=-12x^{-5}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(-2x^{-3}\bigr)=-2\cdot(-3)x^{-4}=6x^{-4}, \quad \frac{d}{dx}(x)=1.
Assim,
u'(x)=-12x^{-5}+6x^{-4}+1.

Passo 4

Para v(x)=(x^{2}+3x+2)^{\tfrac12}, aplicamos a cadeia:
v'(x)=\tfrac12(x^{2}+3x+2)^{-\tfrac12}\cdot(2x+3) =\frac{2x+3}{2\sqrt{x^{2}+3x+2}}.

Passo 5

Pela regra do produto,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(u^{4}\bigr)\,v+u^{4}\,v' =4u^{3}\,u'\,v+u^{4}\,v'.
Substituindo u, u' e v', obtemos
\boxed{ f'(x)=4\bigl(3x^{-4}-2x^{-3}+x\bigr)^{3}\bigl(-12x^{-5}+6x^{-4}+1\bigr)\sqrt{x^{2}+3x+2} +\bigl(3x^{-4}-2x^{-3}+x\bigr)^{4}\,\frac{2x+3}{2\sqrt{x^{2}+3x+2}}. }

Resposta

f'(x)=4\bigl(3x^{-4}-2x^{-3}+x\bigr)^{3}\bigl(-12x^{-5}+6x^{-4}+1\bigr)\sqrt{x^{2}+3x+2} +\bigl(3x^{-4}-2x^{-3}+x\bigr)^{4}\,\frac{2x+3}{2\sqrt{x^{2}+3x+2}}.

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