Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para calcular as derivadas (vou calcular a derivada de primeira ordem e também a de segunda ordem para deixar tudo certinho). Informações dadas/úteis:
- A função interna é
. - O domínio natural é todo
, pois para qualquer . - O que se pede:
e .
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática): a derivada da função logaritmo composta
é dada pela regra da cadeia. Em palavras: derivar
dá
sobre a sua entrada, multiplicado pela derivada da entrada. Escrevendo em fórmula:
Aqui
é qualquer função diferenciável;
é a derivada de
. Um exemplo simples para fixar: para
temos
, que é o caso particular.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: identifique
. Primeiro calcule
. Usando a regra da potência (derivada de
é
) e que a constante some:
Agora aplique a regra da derivada do logaritmo:
Observação rápida:
está definida para todos os
, coerente com o domínio.
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada
. Parto de
. Para derivá-la há duas vias equivalentes; escolho reescrever como produto para usar a regra do produto, que dá contas bem claras:
Regra do produto (lembrete): se
então
. Aqui
e
.
Calcule as partes:
-
. - Para
usamos a regra da cadeia: é uma potência com expoente . Derivando,
Passo 5
Agora aplique a regra do produto:
Simplifique termo a termo:
Colocando em denominador comum
:
Fatorando
: