Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr)
e pede para calcular as derivadas (vou calcular a derivada de primeira ordem e também a de segunda ordem para deixar tudo certinho). Informações dadas/úteis:
  • A função interna é u(x)=x^{2}+1.
  • O domínio natural é todo \mathbb{R}, pois x^{2}+1>0 para qualquer x.
  • O que se pede: f'(x) e f''(x).

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): a derivada da função logaritmo composta \ln\!\bigl(u(x)\bigr) é dada pela regra da cadeia. Em palavras: derivar \ln 1 sobre a sua entrada, multiplicado pela derivada da entrada. Escrevendo em fórmula:
\frac{d}{dx}\ln\!\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é qualquer função diferenciável; u'(x) é a derivada de u. Um exemplo simples para fixar: para u(x)=x temos \frac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}, que é o caso particular.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: identifique u(x)=x^{2}+1. Primeiro calcule u'(x). Usando a regra da potência (derivada de x^{2} é 2x) e que a constante some:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=2x+0=2x.
Agora aplique a regra da derivada do logaritmo:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Observação rápida: f'(x) está definida para todos os x\in\mathbb{R}, coerente com o domínio.

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada f''(x). Parto de f'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}. Para derivá-la há duas vias equivalentes; escolho reescrever como produto para usar a regra do produto, que dá contas bem claras:
f'(x)=2x\cdot\bigl(x^{2}+1\bigr)^{-1}.
Regra do produto (lembrete): se g(x)=a(x)\,b(x) então g'(x)=a'(x)\,b(x)+a(x)\,b'(x). Aqui a(x)=2x e b(x)=(x^{2}+1)^{-1}.
Calcule as partes:
  • a'(x)=\dfrac{d}{dx}(2x)=2.
  • Para b'(x) usamos a regra da cadeia: b(x)=(x^{2}+1)^{-1} é uma potência com expoente -1. Derivando,
b'(x)=-1\cdot\bigl(x^{2}+1\bigr)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr) =-1\cdot\bigl(x^{2}+1\bigr)^{-2}\cdot(2x) =-\frac{2x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}.

Passo 5

Agora aplique a regra do produto:
f''(x)=a'(x)\,b(x)+a(x)\,b'(x) =2\cdot\bigl(x^{2}+1\bigr)^{-1}+2x\cdot\Bigl(-\frac{2x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}\Bigr).
Simplifique termo a termo:
f''(x)=\frac{2}{x^{2}+1}-\frac{4x^{2}}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}.
Colocando em denominador comum \bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}:
f''(x)=\frac{2(x^{2}+1)-4x^{2}}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}} =\frac{2x^{2}+2-4x^{2}}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}} =\frac{2-2x^{2}}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}.
Fatorando 2:
f''(x)=\frac{2(1-x^{2})}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}
f''(x)=\dfrac{2(1-x^{2})}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}}

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