Calcule os limites (pode utilizar derivadas!):
\lim _{z \rightarrow 0} \frac{\cos (2 z)-1}{z}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{z\to 0}\frac{\cos(2z)-1}{z}.
Estou dado apenas essa expressão e a variável que tende a zero. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro verificar a forma indeterminada ao substituir z=0:
\cos(2\cdot 0)-1=\cos(0)-1=1-1=0,
e o denominador z também é 0 quando z\to 0. Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0, o que nos permite usar técnicas como a regra de L’Hôpital ou desenvolvimento em série para resolver o limite.

Passo 3

Vou usar a regra de L’Hôpital, que diz o seguinte: se \lim_{z\to a} f(z)=0 e \lim_{z\to a} g(z)=0 e as derivadas f'(z) e g'(z) existem numa vizinhança de a (exceto, talvez, em a), então, quando o limite apropriado existir,
\lim_{z\to a}\frac{f(z)}{g(z)}=\lim_{z\to a}\frac{f'(z)}{g'(z)}.
Aqui f(z)=\cos(2z)-1 e g(z)=z.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias. Usando a regra da cadeia, a derivada de \cos(2z) em relação a z é -\sin(2z) multiplicado pela derivada de 2z, que é 2. Assim,
f'(z)=\frac{d}{dz}\big(\cos(2z)-1\big)=-2\sin(2z).
E
g'(z)=\frac{d}{dz}(z)=1.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{z\to 0}\frac{\cos(2z)-1}{z}=\lim_{z\to 0}\frac{-2\sin(2z)}{1}=-2\lim_{z\to 0}\sin(2z).
Como \sin(0)=0, segue que
-2\lim_{z\to 0}\sin(2z)=-2\cdot 0=0.

Passo 5

Verificação alternativa (série de Taylor curta): para z pequeno
\cos(2z)=1-\frac{(2z)^2}{2}+o(z^2)=1-2z^2+o(z^2),
então
\frac{\cos(2z)-1}{z}=\frac{-2z^2+o(z^2)}{z}=-2z+o(z),
que tende a 0 quando z\to 0. Isso confirma o resultado obtido com L’Hôpital.

Resposta

0

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