Calcule os limites (pode utilizar derivadas!):
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Estou dado apenas essa expressão e a variável que tende a zero. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro verificar a forma indeterminada ao substituir
:
e o denominador
também é
quando
. Portanto a expressão tem a forma indeterminada
, o que nos permite usar técnicas como a regra de L’Hôpital ou desenvolvimento em série para resolver o limite.
Passo 3
Vou usar a regra de L’Hôpital, que diz o seguinte: se
e
e as derivadas
e
existem numa vizinhança de
(exceto, talvez, em
), então, quando o limite apropriado existir,
Aqui
e
.
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias. Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
multiplicado pela derivada de
, que é
. Assim,
E
Aplicando L’Hôpital:
Como
, segue que
Passo 5
Verificação alternativa (série de Taylor curta): para
pequeno
então
que tende a
quando
. Isso confirma o resultado obtido com L’Hôpital.