A fração
\frac{4 x^{2}-1}{4 x^{2}+4 x+1}
é equivalente a:
a) \frac{2 x-1}{2 x+1}
b) \frac{2 x+1}{2 x-1}
c) \frac{4 x}{4 x+1}
d) 1

Passo 1

O enunciado dá a fração
\frac{4 x^{2}-1}{4 x^{2}+4 x+1}
e pede qual das alternativas abaixo é equivalente a ela:
a) \frac{2 x-1}{2 x+1}
b) \frac{2 x+1}{2 x-1}
c) \frac{4 x}{4 x+1}
d) 1
Informações relevantes dadas: a expressão númerica no numerador é \,4x^{2}-1, e no denominador é \,4x^{2}+4x+1.

Passo 2

Observar o numerador e reconhecer o padrão “diferença de quadrados”. A fórmula geral é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui podemos escolher a=2x e b=1, porque (2x)^{2}=4x^{2} e 1^{2}=1. Aplicando a fórmula:
4x^{2}-1=(2x)^{2}-1^{2}=(2x-1)(2x+1).

Passo 3

Observar o denominador e reconhecer o padrão “quadrado perfeito” (trinômio quadrado). A fórmula geral é
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Compare com 4x^{2}+4x+1. Se escolhemos a=2x e b=1, então
(2x+1)^{2}=(2x)^{2}+2\cdot(2x)\cdot1+1^{2}=4x^{2}+4x+1.
Portanto o denominador fatora como
4x^{2}+4x+1=(2x+1)^{2}.

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração, obtemos
\frac{4 x^{2}-1}{4 x^{2}+4 x+1}=\frac{(2x-1)(2x+1)}{(2x+1)^{2}}.
Agora há um fator comum (2x+1) no numerador e no denominador, que pode ser cancelado desde que ele seja diferente de zero. Cancelando o fator comum:
\frac{(2x-1)(2x+1)}{(2x+1)^{2}}=\frac{2x-1}{2x+1},\qquad\text{desde que }2x+1\neq0.
A condição 2x+1\neq0 equivale a x\neq -\tfrac{1}{2}. Ou seja, as duas expressões são equivalentes para todo x exceto x=-\tfrac{1}{2} (nesse ponto a expressão original é indefinida).

Passo 5

Como a forma simplificada é \dfrac{2x-1}{2x+1}, isso corresponde à alternativa (a). Podemos conferir com um valor numérico (por exemplo x=1): original dá \dfrac{4\cdot1^{2}-1}{4\cdot1^{2}+4\cdot1+1}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3} e a forma simplificada dá \dfrac{2\cdot1-1}{2\cdot1+1}=\dfrac{1}{3}, consistente.

Resposta

a) \frac{2 x-1}{2 x+1}

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