(1, 0 pontos): Determine se a integral é convergente ou divergente. E calcule seu valor caso seja convergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral impropria
é convergente ou divergente e, em caso de convergência, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias (convergência por comparação) e técnica de integração por partes para função polinomial vezes exponencial.
Passo 2
Para testar a convergência, note que, para
, temos
mas mais útil é comparar com uma exponencial simples: para
,
, de modo que
Como
é uma integral de exponencial decrescente e converge (é igual a
), pelo critério da comparação concluímos que
é convergente.
Passo 3
Vamos encontrar uma antiderivada de
usando integração por partes. Escolhemos
logo
Aplicando a fórmula
obtém-se
E mais uma vez integrando
dá
Passo 4
Agora avaliamos o limite da primitiva entre
e
e depois fazemos
:
Para
, ambas as parcelas
e
vão a zero, então restam apenas os termos em
com sinal trocado:
Resposta
A integral é convergente e vale