(1, 0 pontos): Determine se a integral é convergente ou divergente. E calcule seu valor caso seja convergente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral impropria
integral1^infty x e^-8 x,d x
é convergente ou divergente e, em caso de convergência, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias (convergência por comparação) e técnica de integração por partes para função polinomial vezes exponencial.

Passo 2

Para testar a convergência, note que, para x>=1, temos
x e^-8x<= x e^-8xcdot 1 = x e^-8x
mas mais útil é comparar com uma exponencial simples: para x>=1, x<= e^4x, de modo que
x e^-8x<= e^-8x e^4x = e^-4x
Como
integral1^infty e^-4x,d x
é uma integral de exponencial decrescente e converge (é igual a tfrac14e^-4), pelo critério da comparação concluímos que integral1^infty x e^-8x,d x é convergente.

Passo 3

Vamos encontrar uma antiderivada de x e^-8x usando integração por partes. Escolhemos
u = x, d v = e^-8x,d x
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d u = d x, v = integral e^-8x,d x = -tfrac18e^-8x
Aplicando a fórmula
integral u,d v = u v - integral v,d u
obtém-se
integral x e^-8x,d x = -x8e^-8x - integrall(-tfrac18e^-8xr),d x = -x8e^-8x +18integral e^-8x,d x
E mais uma vez integrando e^-8x
integral x e^-8x,d x = -x8e^-8x +18l(-tfrac18e^-8xr) = -x8e^-8x -164e^-8x + C

Passo 4

Agora avaliamos o limite da primitiva entre 1 e R e depois fazemos Rtoinfty:
integral1^R x e^-8x,d x =l[-tfracx8e^-8x-tfrac164e^-8xr]1^R
Para Rtoinfty, ambas as parcelas tfracx8e^-8x e tfrac164e^-8x vão a zero, então restam apenas os termos em x=1 com sinal trocado:
integral1^infty x e^-8x,d x = 0 -l(-tfrac18e^-8-tfrac164e^-8r) = 18e^-8+164e^-8 = 964e^-8

Resposta

A integral é convergente e vale
964e^-8

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