Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se calcule a derivada
.
Informações relevantes que eu peguei do enunciado:
Informações relevantes que eu peguei do enunciado:
- A variável independente é
. - O numerador é
. - O denominador é
. - O objetivo é obter
, a derivada em relação a .
Passo 2
Escolha do método: a função é uma razão entre duas funções (numerador sobre denominador), então o jeito direto é usar a regra do quociente. Outra forma equivalente é reescrever como produto
e aplicar produto + regra da cadeia. Vou usar a regra do quociente porque é mais direta aqui; depois mostro rapidamente a ideia do produto+cadeia para reforçar.
Vou lembrar as fórmulas que vou usar (aqui explico cada uma):
- Regra do quociente: se
com , então
Isso significa: derive o numerador, multiplique pelo denominador; subtraia o numerador vezes a derivada do denominador; divida pelo quadrado do denominador.
- Derivada de seno:
. - Regra da cadeia para exponencial: se
então . No caso , logo e
Passo 3
Identificar numerador e denominador e calcular suas derivadas:
- Seja
. Então
- Seja
. Então, usando a regra da cadeia para ,
Passo 4
Aplicar a regra do quociente com
,
,
,
:
Passo 5
Simplificar o numerador (preste atenção aos sinais):
Logo uma forma conveniente de escrever a derivada é
Passo 6
(Observação didática rápida) Alternativa com produto+cadeia: escrevendo
aplica-se a regra do produto e a regra da cadeia em
para obter exatamente o mesmo resultado mostrado acima. Isso serve para checar a consistência.