Calcule as derivadas das funções abaixo:
r(t)=\frac{\operatorname{sen} t}{1+e^{-2 t}}

Passo 1

O enunciado dá a função
r(t)=\frac{\operatorname{sen} t}{1+e^{-2t}}
e pede que se calcule a derivada r'(t).
Informações relevantes que eu peguei do enunciado:
  • A variável independente é t.
  • O numerador é \operatorname{sen} t.
  • O denominador é 1+e^{-2t}.
  • O objetivo é obter r'(t), a derivada em relação a t.

Passo 2

Escolha do método: a função é uma razão entre duas funções (numerador sobre denominador), então o jeito direto é usar a regra do quociente. Outra forma equivalente é reescrever como produto \operatorname{sen} t\cdot(1+e^{-2t})^{-1} e aplicar produto + regra da cadeia. Vou usar a regra do quociente porque é mais direta aqui; depois mostro rapidamente a ideia do produto+cadeia para reforçar.
Vou lembrar as fórmulas que vou usar (aqui explico cada uma):
  • Regra do quociente: se R(t)=\dfrac{f(t)}{g(t)} com g(t)\neq0, então
R'(t)=\frac{f'(t)g(t)-f(t)g'(t)}{[g(t)]^{2}}.
Isso significa: derive o numerador, multiplique pelo denominador; subtraia o numerador vezes a derivada do denominador; divida pelo quadrado do denominador.
  • Derivada de seno: \dfrac{d}{dt}\big(\sin t\big)=\cos t.
  • Regra da cadeia para exponencial: se h(t)=e^{u(t)} então h'(t)=e^{u(t)}u'(t). No caso u(t)=-2t, logo u'(t)=-2 e
\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}\big)=-2e^{-2t}.

Passo 3

Identificar numerador e denominador e calcular suas derivadas:
  • Seja f(t)=\sin t. Então
f'(t)=\cos t.
  • Seja g(t)=1+e^{-2t}. Então, usando a regra da cadeia para e^{-2t},
g'(t)=\frac{d}{dt}\big(1\big)+\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}\big)=0+(-2)e^{-2t}=-2e^{-2t}.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente com f, f', g, g':
r'(t)=\frac{f'(t)g(t)-f(t)g'(t)}{[g(t)]^{2}} =\frac{\cos t\,(1+e^{-2t})-\sin t\cdot(-2e^{-2t})}{(1+e^{-2t})^{2}}.

Passo 5

Simplificar o numerador (preste atenção aos sinais):
\cos t\,(1+e^{-2t})-\sin t\cdot(-2e^{-2t}) =\cos t + \cos t\,e^{-2t} + 2\sin t\,e^{-2t}.
Logo uma forma conveniente de escrever a derivada é
r'(t)=\frac{\cos t + e^{-2t}\big(\cos t + 2\sin t\big)}{(1+e^{-2t})^{2}}.

Passo 6

(Observação didática rápida) Alternativa com produto+cadeia: escrevendo
r(t)=\sin t\cdot(1+e^{-2t})^{-1},
aplica-se a regra do produto e a regra da cadeia em (1+e^{-2t})^{-1} para obter exatamente o mesmo resultado mostrado acima. Isso serve para checar a consistência.

Resposta

r'(t)=\frac{\cos t + e^{-2t}\big(\cos t + 2\sin t\big)}{(1+e^{-2t})^{2}}

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