Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular a derivada da função
.
Informação dada: a função é o produto de duas funções dependentes de :
e
. A tarefa é encontrar
.
Informação dada: a função é o produto de duas funções dependentes de
Passo 2
Relembrando as ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do poder (power rule): para um expoente
fixo,
Aqui
é a variável e
é um número real (no nosso caso
).
- Regra do produto (product rule): se
, então
Isto significa: derivar uma função de cada vez, multiplicando pelo outro fator e somando.
- Regra da cadeia (chain rule) e derivada da exponencial: se
com uma função de , então
Aqui
é a função interna; primeiro derivamos a exponencial em relação a
(fica
) e multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Passo 3
Aplicar a regra do produto com
e
. Assim
Passo 4
Calcular
usando a regra do poder:
Passo 5
Calcular
usando a regra da cadeia. Aqui a parte interna é
. Então
Aplicando a derivada da exponencial,
Passo 6
Substituir
e
na fórmula do produto:
Passo 7
Fazer a simplificação algébrica: na segunda parcela
. Colocando
em evidência:
Fatorando
obtém-se a forma mais compacta