Calcule as derivadas das funções abaixo:
s(x)=x^{3} e^{-x^{2}}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a derivada da função s(x)=x^{3}e^{-x^{2}}.
Informação dada: a função é o produto de duas funções dependentes de x: f(x)=x^{3} e g(x)=e^{-x^{2}}. A tarefa é encontrar s'(x).

Passo 2

Relembrando as ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do poder (power rule): para um expoente n fixo,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é um número real (no nosso caso n=3).
  • Regra do produto (product rule): se s(x)=f(x)g(x), então
\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Isto significa: derivar uma função de cada vez, multiplicando pelo outro fator e somando.
  • Regra da cadeia (chain rule) e derivada da exponencial: se g(x)=e^{u(x)} com u(x) uma função de x, então
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interna; primeiro derivamos a exponencial em relação a u (fica e^{u}) e multiplicamos pela derivada de u em relação a x.

Passo 3

Aplicar a regra do produto com f(x)=x^{3} e g(x)=e^{-x^{2}}. Assim
s'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).

Passo 4

Calcular f'(x) usando a regra do poder:
f'(x)=\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.

Passo 5

Calcular g'(x) usando a regra da cadeia. Aqui a parte interna é u(x)=-x^{2}. Então
u'(x)=\frac{d}{dx}(-x^{2})=-2x.
Aplicando a derivada da exponencial,
g'(x)=\frac{d}{dx}e^{-x^{2}}=e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=-2x\,e^{-x^{2}}.

Passo 6

Substituir f'(x) e g'(x) na fórmula do produto:
s'(x)=3x^{2}\,e^{-x^{2}}+x^{3}\,(-2x)\,e^{-x^{2}}.

Passo 7

Fazer a simplificação algébrica: na segunda parcela x^{3}(-2x)=-2x^{4}. Colocando e^{-x^{2}} em evidência:
s'(x)=3x^{2}e^{-x^{2}}-2x^{4}e^{-x^{2}}.
Fatorando x^{2}e^{-x^{2}} obtém-se a forma mais compacta
s'(x)=x^{2}e^{-x^{2}}\bigl(3-2x^{2}\bigr).

Resposta

s'(x)=x^{2}e^{-x^{2}}\bigl(3-2x^{2}\bigr)

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