Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função envolve exponencial
, cosseno e divisão por . - A função só está definida para
(porque aparece no denominador). - A única pergunta é: encontrar
(a derivada em função de ).
Passo 2
Escolha de forma de derivar e regras que vamos usar (explicadas com calma).
Aqui é conveniente reescrever a função como produto para aplicar regras básicas de derivação sem complicar notação. Reescrever é um truque padrão: transformar divisão por
em multiplicação por
. Assim
Regras que usaremos (sempre que aparecerem, explico o que significam):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se
então . - Regra do produto: se
então
Isto diz: derivo o primeiro e multiplico pelo segundo + o primeiro vezes a derivada do segundo.
- Regra da potência (power rule): para
com número real ,
- Regra da cadeia (para funções compostas): se
então a derivada é vezes a derivada do expoente . Em geral, .
Também precisamos saber derivadas básicas:
-
(pela regra da cadeia), -
.
Passo 3
Calcular as derivadas das partes separadamente.
Defino
de modo que
.
Derivada de
: usar regra da soma e regra da cadeia.
Explicando:
porque a derivada do expoente
é
; e
.
Derivada de
pela regra da potência:
Explicando: aplicar
com
dá
.
Passo 4
Aplicar a regra do produto para obter
.
Pela regra do produto,
Substituindo
calculados:
Passo 5
Fazer a álgebra para simplificar a expressão da derivada de forma elegante.
Partimos de
Colocamos em evidência
(ou seja, fator comum
) para combinar os termos:
Agora desenvolvemos o colchete:
Agrupando os termos com
:
Portanto o conteúdo do colchete fica
Passo 6
Escrever a forma final simplificada da derivada, lembrando o domínio
.
Colocando tudo junto:
Ou, escrevendo com fração: