Calcule as derivadas das funções abaixo:
u(t)=\frac{e^{3 t}+\cos t}{t^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
u(t)=\frac{e^{3t}+\cos t}{t^{2}}
e pede para calcular a derivada u'(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função envolve exponencial e^{3t}, cosseno \cos t e divisão por t^{2}.
  • A função só está definida para t\neq 0 (porque aparece t^{2} no denominador).
  • A única pergunta é: encontrar u'(t) (a derivada em função de t).

Passo 2

Escolha de forma de derivar e regras que vamos usar (explicadas com calma).
Aqui é conveniente reescrever a função como produto para aplicar regras básicas de derivação sem complicar notação. Reescrever é um truque padrão: transformar divisão por t^{2} em multiplicação por t^{-2}. Assim
u(t) = \bigl(e^{3t}+\cos t\bigr)\,t^{-2}.
Regras que usaremos (sempre que aparecerem, explico o que significam):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se h(t)=f(t)+g(t) então h'(t)=f'(t)+g'(t).
  • Regra do produto: se u(t)=f(t)g(t) então
u'(t)=f'(t)g(t)+f(t)g'(t).
Isto diz: derivo o primeiro e multiplico pelo segundo + o primeiro vezes a derivada do segundo.
  • Regra da potência (power rule): para t^{n} com número real n,
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
  • Regra da cadeia (para funções compostas): se v(t)=\exp(3t) então a derivada é \exp(3t) vezes a derivada do expoente 3t. Em geral, \dfrac{d}{dt}e^{g(t)}=g'(t)e^{g(t)}.
Também precisamos saber derivadas básicas:
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(e^{3t}\bigr)=3e^{3t} (pela regra da cadeia),
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(\cos t\bigr)=-\sin t.

Passo 3

Calcular as derivadas das partes separadamente.
Defino
f(t)=e^{3t}+\cos t, \qquad g(t)=t^{-2},
de modo que u(t)=f(t)g(t).
Derivada de f(t): usar regra da soma e regra da cadeia.
f'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{3t}\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(\cos t\bigr)=3e^{3t}-\sin t.
Explicando: \dfrac{d}{dt}(e^{3t})=e^{3t}\cdot 3 porque a derivada do expoente 3t é 3; e \dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t.
Derivada de g(t)=t^{-2} pela regra da potência:
g'(t)=-2\,t^{-3}.
Explicando: aplicar n t^{n-1} com n=-2 -2 t^{-3}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto para obter u'(t).
Pela regra do produto,
u'(t)=f'(t)g(t)+f(t)g'(t).
Substituindo f,f',g,g' calculados:
u'(t)=(3e^{3t}-\sin t)\,t^{-2}+(e^{3t}+\cos t)\,(-2t^{-3}).

Passo 5

Fazer a álgebra para simplificar a expressão da derivada de forma elegante.
Partimos de
u'(t)=(3e^{3t}-\sin t)\,t^{-2}-2(e^{3t}+\cos t)\,t^{-3}.
Colocamos em evidência t^{-3} (ou seja, fator comum 1/t^{3}) para combinar os termos:
u'(t)=t^{-3}\Bigl[t(3e^{3t}-\sin t)-2(e^{3t}+\cos t)\Bigr].
Agora desenvolvemos o colchete:
t(3e^{3t}-\sin t)-2(e^{3t}+\cos t)=3t e^{3t}-t\sin t-2e^{3t}-2\cos t.
Agrupando os termos com e^{3t}:
3t e^{3t}-2e^{3t} = e^{3t}(3t-2).
Portanto o conteúdo do colchete fica
e^{3t}(3t-2)-t\sin t-2\cos t.

Passo 6

Escrever a forma final simplificada da derivada, lembrando o domínio t\neq 0.
Colocando tudo junto:
u'(t)=t^{-3}\bigl(e^{3t}(3t-2)-t\sin t-2\cos t\bigr).
Ou, escrevendo com fração:
u'(t)=\frac{e^{3t}(3t-2)-t\sin t-2\cos t}{t^{3}},\qquad t\neq 0.

Resposta

u'(t)=\dfrac{e^{3t}(3t-2)-t\sin t-2\cos t}{t^{3}},\\ t\neq 0

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