Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a(s) derivada(s). Vou calcular a derivada primeira
de forma detalhada e didática.
Passo 2
Regra que vamos usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte: se
, isto é, uma exponencial cuja potência é uma função
, então a derivada é
Explicando devagar: a derivada da função exponencial
em relação a
é ela mesma,
. Quando o expoente é uma função
, aplica-se a regra da cadeia: derivar o exterior mantendo o interior e multiplicar pela derivada do interior.
Passo 3
Agora precisamos da derivada de
. Lembrando que
. Para derivar uma razão, usamos a regra do quociente: se
então
Apliquemos com
e
. Sabemos que
e
. Assim
Como
, obtemos
Passo 4
Voltando à regra da cadeia: com
e
, temos
Também é comum escrever a mesma resposta como
Observação importante: essa derivada só faz sentido (isto é, a expressão está bem definida) quando
, ou seja, para
,
.
Passo 5
Exemplo rápido para fixar: em
tem
e
, então