Calcule as derivadas das funções abaixo:
p(t)=e^{\operatorname{tg} t}

Passo 1

O enunciado dá a função
p(t)=e^{\operatorname{tg} t}
e pede para calcular a(s) derivada(s). Vou calcular a derivada primeira p'(t) de forma detalhada e didática.

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte: se p(t)=e^{u(t)}, isto é, uma exponencial cuja potência é uma função u(t), então a derivada é
p'(t)=e^{u(t)}\cdot u'(t).
Explicando devagar: a derivada da função exponencial e^x em relação a x é ela mesma, e^x. Quando o expoente é uma função u(t), aplica-se a regra da cadeia: derivar o exterior mantendo o interior e multiplicar pela derivada do interior.

Passo 3

Agora precisamos da derivada de u(t)=\operatorname{tg} t. Lembrando que \operatorname{tg} t=\dfrac{\sin t}{\cos t}. Para derivar uma razão, usamos a regra do quociente: se q(t)=\dfrac{f(t)}{g(t)} então
q'(t)=\frac{f'(t)g(t)-f(t)g'(t)}{g(t)^2}.
Apliquemos com f(t)=\sin t e g(t)=\cos t. Sabemos que f'(t)=\cos t e g'(t)=-\sin t. Assim
\frac{d}{dt}\operatorname{tg} t = \frac{\cos t\cdot\cos t - \sin t\cdot(-\sin t)}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t+\sin^2 t}{\cos^2 t}.
Como \cos^2 t+\sin^2 t=1, obtemos
\frac{d}{dt}\operatorname{tg} t=\frac{1}{\cos^2 t}=\operatorname{sec}^2 t.

Passo 4

Voltando à regra da cadeia: com u(t)=\operatorname{tg} t e u'(t)=\operatorname{sec}^2 t, temos
p'(t)=e^{\operatorname{tg} t}\cdot \operatorname{sec}^2 t.
Também é comum escrever a mesma resposta como
p'(t)=\frac{e^{\operatorname{tg} t}}{\cos^2 t}.
Observação importante: essa derivada só faz sentido (isto é, a expressão está bem definida) quando \cos t\neq 0, ou seja, para t\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Exemplo rápido para fixar: em t=0 tem \operatorname{tg}0=0 e \operatorname{sec}^2 0=1, então
p'(0)=e^{0}\cdot 1=1.

Resposta

p'(t)=e^{\operatorname{tg} t}\operatorname{sec}^2 t

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